2018年5月31日 押高考数学第20题-试题君之每日一题君2

5月31日 押高考数学第20题

1．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程；

（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

x2y22．已知椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，A,B是椭圆C上两点，O是坐标原点，

ab且AB2OB，|AF1||BF1|4，离心率为（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1作两条相互垂直的直线l1,l2分别交椭圆于P、Q和M、N，求PQMN的取值范围.

1. 2

1．【解析】（1）设圆心C(x,y)，依题意有x24(x2)2y2，即得y24x， ∴曲线C的方程为y24x．

（2）易知直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则直线l1：yk(x1)，M(x1x2y1y2,)， 22y24x2222由得kx(2k4)xk0， yk(x1)(2k24)24k416k2160，

x1x224422yyk(xx2)M(1,)． ，，∴1212k2kk2k2同理得N(12k,2k)．

当k1或k1时，直线MN的方程为x3； 当k1且k1时，直线MN的斜率为

k， 21k

k22(x12k)，即(k1)y(x3)k0， 21k∴直线MN过定点P，其坐标为(3,0)．

∴直线MN的方程为y2k综上所述，直线MN过定点P，其坐标为(3,0)．

（2）①当直线PQ,MN有一条斜率不存在时，PQMN437． ②当PQ斜率存在且不为0时，设方程为yk(x1)，P(x1,y1),Q(x2,y2).

yk(x1)联立方程，得x2y2，消去y整理得(34k2)x28k2x4k2120．

1438k24k212x1x2,x1x2． 2234k34k8k224k21212(1k2)PQ(1k)[(x1x2)4x1x2]=(1k)(=． )434k234k234k222212(1k2)1把代入上式，得MN， 2k43k84(k21)2， PQMN22(43k)(34k)设tk1(k0),t1，PQMN284，t1，

112+12tt111124912()=，t1， 2ttt24111249令m，则m(0,1)，g(m)=(m)（0m1），

tt24设g(t)∴12g(m)g(t)4884497， ，∴

47g(t)

PQMN[48，7)． 748,7]. 7综上，PQMN的取值范围是[今日收获如何？

总结一下吧！