星期一(数列) 2023年____月____日
【题目1】 (2021·福州质检)在①Sn＝2an＋1，②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1，③a2S2＝－3，a3＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横n＋1＝anan＋2，线上，并解答．
问题：已知单调数列{an}的前n项和为Sn，且满足________． (1)求{an}的通项公式． (2)求数列{－nan}的前n项和Tn.
(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．) 解 (1)选①，即Sn＝2an＋1，(ⅰ) 则当n＝1时，S1＝2a1＋1，a1＝－1； 当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1.(ⅱ) (ⅰ)(ⅱ)两式相减，化简得an＝2an－1， 所以{an}为等比数列，其公比为2，首项为－1. 所以an＝－2n－1.
选②，即a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1. 所以当n≥2时，log2(anan＋1)－log2(an－1an)＝2， an＋1即＝4， an－1
所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4， 所以a2k－1＝－1×4k1＝－2(2k
－
－1)－1
.
由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2， 同理可得，a2k＝－2×4k－1＝－22k－1(k∈N*)． 综上，数列{an}的通项公式为an＝－2n－1. 选③，即a2n＋1＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4， 所以{an}为等比数列，设其公比为q，
a1＝－9，
a1（1＋q）＝－3，a1＝－1，则2解得或2
q＝－3.a1q＝－4，q＝2，a1＝－1，
又因为{an}为单调数列，所以q>0，故
q＝2，所以an＝－2n－1.
(2)由(1)知，－nan＝n·2n－1，
所以Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1， 2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－2)·2n2＋(n－1)·2n1＋n·2n，
－
－
两式相减，得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－n·2n＝(2n－1)－n·2n， 所以Tn＝(n－1)·2n＋1.
星期二(三角) 2022年____月____日
【题目2】 (2021·南京、盐城一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C.
(1)求sin C的取值范围； (2)若c＝6b，求sin C的值．
解 (1)由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π得2B＋4C＝π， ππ
∴B＝2－2C，∴A＝2＋C.
0 0 0<2＋C<π， 0 得0 由(1)知B＝2－2C，则sin B＝sin2－2C＝cos 2C，② 1 由①②得6sin C＝cos 2C＝1－2sin2 C， ∴12sin2 C＋sin C－6＝0， 23 解得sin C＝3或sin C＝－4. 22 又sin C∈0，，∴sin C＝3. 2 星期三(概率与统计) 2022年____月____日 【题目3】 2019年12月27日，国家统计局公布全国规模以上工业企业月累计营业收入利润率数据如下表： 月份累计 月份累计代码x 营业收入利润率y(%) (1)根据表中有关数据请在下图中补充完整y与x的折线图，判断y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个更适宜作为y关于x的回归方程类型，并说明理由； ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1～2月 1～3月 1～4月 1～5月 1～6月 1～7月 1～8月 1～9月 1～1～10月 11月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.79 5.31 5.52 5.72 5.86 5.87 5.87 5.91 5.85 5.91 (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)； (3)根据(2)得出的回归方程，预测1～12月月累计营业收入利润率(%)的值为多少？ 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu ^ ^ ^ n －－ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝ ^ i＝1 ∑ （ui－u）（vi－v） ni＝1 ∑ （ui－u）2 参考数据： 10－－－－ ，α＝v－βu. ^ － ^－ 10i＝1－10i＝1－10i＝1x y w ∑ (xi－x)2 －i＝1∑ (wi－－∑ (xi－－∑ (wi－－w) 5.50 5.66 － 2x)(yi－y) 8.14 w)(yi－y) 2.07 2.25 10 82.50 4.52 1 表中wi＝xi，w＝10∑wi，11≈3.32. i＝1 解 (1)补充完整的折线图如下，可知选用y＝c＋d x更适宜．理由：根据折线图知折线的形状更接近y＝c＋dx的图象． ^ ^ ^ (2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程． 10 － － ∵d＝ ^ i＝1 ∑ （wi－w）（yi－y） 10i＝1 ∑ （wi－w）2 － 2.07 ＝4.52≈0.46， ∴c＝y－dw＝5.66－0.46×2.25≈4.63， ∴y关于w的线性回归方程为y＝4.63＋0.46w， ∴y关于x的回归方程为y＝4.63＋0.46x. (3)由(2)可知，当x＝11时，y＝4.63＋0.46×3.32≈6.16， ^^ ^ ^ － ^－ ∴预测1～12月月累计营业收入利润率(%)的值为6.16. 星期四(解析几何) 2022年____月____日 x2y2 【题目4】 已知圆锥曲线m＋n＝1过点A(－1，2)，且过抛物线x2＝8y的焦点B. (1)求该圆锥曲线的标准方程； (2)设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为(|m|，0)，点E的坐标为(0，|n|)，直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|·|EM|为定值． (1)解 抛物线x2＝8y的焦点B的坐标为(0，2)． x2y2 将点A(－1，2)，B(0，2)代入m＋n＝1， 12m＋n＝1，m＝2，得解得 04n＝4.m＋n＝1， y2x2 所以该圆锥曲线的标准方程为4＋2＝1. (2)证明 由(1)可知该圆锥曲线为椭圆，且D(2，0)，E(0，2)． 设P(x0，y0)，x0≠2，y0≠2， 则直线PD：y＝ y0 (x－2)， x0－2 －2y0 令x＝0，得M点的纵坐标yM＝， x0－22y02＋. 所以|EM|＝ x－20 y0－2－2x0 直线PE：y＝xx＋2，令y＝0，得N点的横坐标xN＝，所以|DN|＝ y0－202x0 2＋. y0－2 2x02y0 2＋ 所以|DN|·|EM|＝2＋y－2·0x0－2 2y0－22＋2x02x0－22＋2y0 · ＝ y－2x－200（2y0＋2x0）－22（2y0＋2x0）－22 · ＝ y0－2x0－2 2 2（y20＋2x0－4y0－42x0＋22x0y0＋4） . ＝ xy－2x－2y＋2200002 y20x02 因为点P在椭圆上，所以4＋2＝1，即y20＋2x0＝4， 2（4－4y0－42x0＋22x0y0＋4） 所以|DN|·|EM|＝ x0y0－2x0－2y0＋222（－4y0－42x0＋22x0y0＋8） ＝42， ＝ xy－2x－2y＋220000故|DN|·|EM|为定值． 星期五(立体几何) 2022年____月____日 【题目5】 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AA1＝2AB＝2AC＝22，平面BB1C1C⊥平面ABC，点E为棱A1A的中点，∠B1BC＝60°. (1)证明：平面B1CE⊥平面BB1C1C； (2)求平面AB1C与平面B1CE的夹角的余弦值. (1)证明 如图，分别取BC，B1C的中点O，F，连接OA，OF，EF， 因为AB＝AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC. 因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AO⊂平面ABC， 所以AO⊥平面BB1C1C. 1 因为F是B1C的中点，所以FO∥BB1，且FO＝2BB1. 因为点E为棱A1A的中点， 1 所以AE∥BB1，且AE＝2BB1. 所以FO∥AE，且FO＝AE，所以四边形AOFE是平行四边形，所以EF∥AO. 因为AO⊥平面BB1C1C，所以EF⊥平面BB1C1C. 因为EF⊂平面B1CE，所以平面B1CE⊥平面BB1C1C. (2)解 连接B1O，由题意易证B1O⊥BC，则B1O⊥平面ABC，故OA，OC，OB1两两垂直． →，OC→，OB→的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间 以O为坐标原点，OA1直角坐标系O-xyz， 26则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，6)，E2，，， 22 26→→→，AC＝(－2，2，0)． 故B，1C＝(0，2，－6)，CE＝2，－22设平面B1CE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， → B1C＝2y1－6z1＝0，m·则 26→ CE＝2x1－2y1＋2z1＝0，m· 令z1＝1，得m＝(0，3，1)． 设平面AB1C的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →n·B1C＝2y2－6z2＝0，则 →AC＝－2x2＋2y2＝0，n· 令y2＝3，得n＝(3，3，1)， m·n则cos 〈m，n〉＝|m||n|＝ 27＝7. 3＋1×3＋3＋1 4 27 所以平面AB1C与平面B1CE的夹角的余弦值为7. 星期六(函数与导数) 2022年____月____日 【题目6】 已知函数f(x)＝xex－2ax＋a(a∈R)． (1)当a＝0时，求f(x)在[－2，2]上的最值； (2)设g(x)＝2ex－ax2，若h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围． 解 (1)当a＝0时，f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex(x＋1)． 当x<－1时，f′(x)<0；当x>－1时，f′(x)>0. 当x∈[－2，2]时，f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1，2]上单调递增，∴f(x)min1 ＝f(－1)＝－e. 2 又f(－2)＝－e2，f(2)＝2e2，∴f(x)max＝2e2. 1 综上，f(x)在[－2，2]上的最大值为2e，最小值为－e. 2 (2)h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点， ⇒(x－2)ex＋a(x－1)2＝0有两解． 当x＝1时，不满足题意， （x－2）ex 当x≠1时，－a＝， （x－1）2 （x－2）ex 即y＝－a与y＝的图象有两个交点， （x－1）2（x－2）ex 令F(x)＝，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)， （x－1）2 （x－1）2ex－2（x－2）ex（x2－4x＋5）ex[（x－2）2＋1]ex 所以F′(x)＝＝＝， （x－1）3（x－1）3（x－1）3当x∈(－∞，1)时，F′(x)<0，所以F(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0，所以F(x)单调递增． F(x)的大致图象如图所示， 所以由y＝－a与F(x)的图象有两个交点，可得到－a<0，所以a>0， 综上a的取值范围是(0，＋∞)． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容