圆锥曲线标准方程求法(教师版)

一、椭圆标准方程求法

1、定义法

【例1】已知ABC的周长是18，A(4,0),B(4,0)，求点C的轨迹方程。

【变式】：在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为

7.建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程. 25【解】:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,

设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆, 所以焦距 2c=|AB|=6 因为

|CA|2|CB|262(|CA||CB|)22|CA||CB|362a218cosC1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|2a218)a2,所以 cosC12, 2a又 |CA||CB|(由题意得 11872,a25 a225此时,|PA|=|PB|,P点坐标为 P(0,±4).

x2y21(y0) 所以C点的轨迹方程为

2516【例2】已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为1,0，点M362,2在椭圆上，求椭圆C的方程； 36【解法1】：有定义可得F1(1,0),F2(1,0)，点M2,2在椭圆上。

所以

2aMF1MF223，又c1

x2y21 故椭圆方程为：3222【例3】已知圆F定点F2(1,0)．动圆M过点F2，且与圆F1相内切．求1:(x1)y16，

点M的轨迹C的方程.

【解析】设圆M的半径为r．

因为圆M与圆F1相内切，所以MF1＝4－r． 因为圆M过点F2，所以MF2＝r．

所以MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4．

所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆．

x2y2

且此椭圆的方程形式为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab其中2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝3． x2y2

所以曲线C的方程＋＝1．

43

y M O F2 F1 x 【例4】设x,yR,i,j为直角坐标系内x,y轴正方向的单位向量，

axi(y2)j,bxi(y2)j，且|a||b|8．求点M(x,y)的轨迹C的方

程；

【解析】由已知可得ax，y2,bx，y2,又|a||b|8知，

x2(y2)2x2(y2)28

即点M(x,y)到两定点F1(0,2),F2(0,2)的距离之和为定值8，又8>4 所以M(x,y)的轨迹为以F1(0,2),F2(0,2) 为焦点椭圆，

x2y21 故方程为

12162、待定系数法

1.（2009广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且G上2x2y21一点到G的两个焦点的距离之和为12，椭圆G的方程．

369

y2x22．（2009浙江理）已知椭圆C1：221(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点

aby2x21 且垂直长轴的弦长为1．求椭圆C1的方程．43．（2009宁海理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个

x2y21 顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C的方程．

167x2y24.（2009山东理）设椭圆E:221（a,b0）过M(2,2)，N(6,1)两点，Oabx2y21 为坐标原点，求椭圆E的方程。843、转化已知条件

【例1】已知点A,B的坐标分别是(0,1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为1.求点M轨迹C的方程; 2【解析】:设点M的坐标为(x,y), ∵kAMkBM1y1y11 ,∴2xx2x2y21(x0),这就是动点M的轨迹方程 整理,得2【例2】设Q、G分别为ABC的外心和重心,已知

A(1,0),B(1,0),QG//AB｡求点C的轨迹E

【解析】:设C(x,y),∵A(1,0),B(1,0) ∴G(,又∵Q是外心,且QG//AB ∴Q(0,) ∵|QA||QC|

xy) 33y3y24y2y222x1(y0) ∴1,即x993【例3】已知动点P到直线x的轨迹方程;

【解析】:设动点P(x,y),由题意知x4233的距离是到定点(3,0)的距离的倍.求动点P334233(x3)2y2. 33x2x22y1. 即动点P的轨迹方程是y21.

44【例4】已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足MNMP6|PN|。求动点P的轨迹方程；

【解】设动点P（x，y），

则MP(x4,y),MN(3,0),PN(1x,y)

22由已知得3(x4)6(1x)(y)，

x2y21 化简得3x4y12,即4322x2y21 ∴点P的轨迹是椭圆43【例5】已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂

足为Q，且QPQFFPFQ．求动点P的轨迹C的方程； 【解析】设Px,y，则Qx,1，∵QPQFFPFQ， ∴0,y1x,2x,y1x,2．

即2y1x2y1，即x24y，所以动点P的轨迹C的方程x24y．

2

二、双曲线的标准方程

1、定义法

【例1】（08重庆文21）M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足PMPN2， 求点P的轨迹方程;

解：由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线， 因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=3, y21 所以双曲线的方程为x3变式1：平面内动点P到定点F1(4,0)的距离比它到定点F2(4,0)的距离大6，求动点P的

2轨迹方程。

x2y21(x0) 解：982222变式2：求与圆(x3)y1及(x3)y9都外切的动圆圆心的轨迹方程 y21(x1) 解：x822、待定系数求

【例2】求经过点P(3,27)和Q(62,7)，焦点在y轴上的双曲线的标准方程 y2x21 解：

2575变式1：求过点（2，-2）且与双曲线x-2y=2有公共渐近线的双曲线方程．

2

2

y2x21 解：

24变式2：求经过点A(1,3)，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

y2x21 解：

883、利用几何性质求双曲线的标准方程

x2y2【例3】（2010天津理）已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,

ab 它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，求双曲线的方程。

ba3x2y2221 a9,b27，所以双曲线的方程为解：依题意知c6927c2a2b2x2y2变式1：（2010天津文）已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3x，

ab2 它的一个焦点与抛物线y16x的焦点相同，求双曲线的方程。

b解：由渐近线方程可知 3 ①

a 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ② 又cab ③

222x2y21 联立①②③，解得a4,b12，所以双曲线的方程为

412变式2：（2010重庆理21）已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线C的离心率

22e5. 2 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

x21y21,yx 解：42

变式3：（2010山东理21）已知椭圆

x2y221(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的

2a2b2点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，求椭圆和双曲线的标准方程。

解：由题意知，椭圆离心率为

c2，得a2c，又2a2c4(21)，所以可解a222x2y21；所以椭得a22，c2，所以bac4，所以椭圆的标准方程为842圆的焦点坐标为（2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双

x2y21。 曲线的标准方程为

444：直接法求双曲线的标准方程

【例4】点A,B的坐标分别是(5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之

4积是，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．

9x2y21(x5) 解：

251009二．巩固训练

1.根据下列条件求双曲线的标准方程

(1）实轴的长为8，虚轴的长为6，焦点在y轴； (2）离心率为2，经过点M(2,4),

(3)一条渐近线方程是y2x，且经过（1，3）， (4)渐进线方程为y2x，实轴长为6 3(4,0)，2.（全国1文理）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，则双曲线方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y21 B．1 C．1 D．1 A．

4121241066102解．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则c=4，a=2，b12，双曲线方x2y21 程为

4121x的双曲线经过点，则双曲线的方程是（ ） （，43）2y2y2x2x2222x1 B．x1 C．y1 D．y21 A．4444x2y234.（江西文14）已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线方程为yx，

ab3x23y2 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．解：1

443.已知渐近线方程y5.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ D ）

（A）xy2 （B）yx2

（C）xy4或yx4 （D）xy2或yx2 6.（08山东文13）已知圆C:xy6x4y80．以圆C与坐标轴的交点分别作为

双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 解： 本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆C:xy6x4y80

22222222222222220),(4，0), y0x26x80,得圆C与坐标轴的交点分别为(2，x2y21 则a2,c4,b12,所以双曲线的标准方程为

412x2y27.（08湖北文20）已知双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点为

abF1(2,0),F2(2,0),点P(3,7)的曲线C上，求双曲线C的方程；

2x2y22

1解：(依题意，由a+b=4，得双曲线方程为2（0＜a＜4）， 2a4a2

2

将点（3，7）代入上式，得

97221.解得a=18（舍去）或a＝2， 22a4ax2y21.或根据双曲线定义去解，|PF1||PF2|2a，解得a 故所求双曲线方程为228.（天津理21文22）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F13,0， 一条渐近线的方程是5x2y0，求双曲线C的方程；

x2y2解：设双曲线C的方程为221（a0,b0）．

aba2b29a24x2y21． 由题设得b，所以双曲线方程为5，解得245b52ax2y21 9.与椭圆x+4y=16有相同焦点,且过点(5,6)的椭圆方程是

2082

2

10.椭圆5xky5的一个焦点是(0,2)，那么k等于（ A ）

A. 1 B. 1

C.

225 D. 5 x2y21的焦距是 ，11.椭圆焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，169则F2CD的周长为 2c27;F1(7,0),F2(7,0);4a16

12.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ D ）

A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）

913．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件PF1PF2a(a0)，则点P的

a轨迹是（ A ）

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 x2y2x2y214．椭圆221和22kk0具有（ A ）

ababA．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴