解析几何中的重要结论
𝐱²𝐲²
⒈ 若P﹙𝐱𝟎.，𝐲𝟎﹚在椭圆＋＝1(a﹥b＞0)
𝐚²𝐛²
上，则过P的切线方程为
𝐱𝐱𝟎.𝐲𝐲𝟎𝐚²
+
𝐛²
＝1。
𝐱²𝐲²
⒉ 若P﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在椭圆+＝1(a﹥b＞0) 外，过P作椭圆的两条切线
𝐚²𝐛²
L1，L2,交椭圆于A,B两点。则AB所在的直线方程为
𝐱²𝐲²
⒊ 椭圆+＝1(a﹥b＞0)的左右焦点分别为𝐅𝟏.，𝐅𝟐.,点
𝐚²𝐛²
𝐱𝐱𝟎.𝐲𝐲𝟎𝐚²
+
𝐛²
＝1。
P为椭圆上的任
γ𝟐
一点，∠𝐅𝟏.P𝐅𝟐.,= γ。则椭圆的焦三角的面积为S∆𝐅𝟏.P𝐅𝟐.=b²tan
⒋ 设过椭圆的一个焦点F作一条直线交椭圆于P.Q两点.A为椭圆长轴的一个顶
点，L为椭圆相应于F的一条准线，连接AP.AQ分别交L于M.N两点，则
MF⊥NF
5，椭圆
𝐱²𝐚²
＋
𝐲²𝐛²
＝1(a﹥b＞0)的焦半径公式：𝐅𝟏.﹙−c.0﹚.𝐅𝟐.﹙c.0﹚,点
M﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在椭圆，lM𝐅𝟏.l=a＋e𝐱𝟎. lM𝐅𝟐.l=a-e𝐱𝟎.过𝐅𝟏.且垂直于X轴的弦交椭圆于A,B两点，则AB=
𝟐𝐛²𝐚
﹙AB称为通径﹚
𝐱²𝐲²
6.AB是椭圆+＝1(a﹥b＞0)不平行于对称轴的弦,𝐌﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚
𝐚²𝐛²
是AB的中点。KOMKAB=-.即KAB=-𝐚²
𝐱²𝐲²
𝐛²
𝐛²𝐗𝟎𝐚²𝐘𝟎.
7.设P,﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在椭圆+＝1(a﹥b＞0)内，则被P
𝐚²𝐛²
所平分的中点弦方程为
𝐱,𝐱𝟎.𝐲𝐲𝟎,𝐱𝟎.²𝐲𝟎²𝐚²
+
𝐛²
=
𝐚²
+𝐛²
8，+＝1 (𝐚＞𝐛＞𝟎)
𝐚²𝐛²𝐲²
𝐱²𝐲²
,9，
𝐚²𝐛²
+=1 （a＞b＞0﹚
𝐱²
10.2a=|𝐌𝐅𝟏|+|𝐌𝐅𝟐|
b²=a²-c² |𝐱𝟏﹣𝐱𝟐|=√(𝐱𝟏+𝐱𝟐)²－𝟒𝐱𝟏𝐱𝟐 11.－=1 ,-=1 c²=a²﹢b²
𝐚²
𝐛²
𝐚²𝐛²
𝐱²
𝐲²
𝐲²𝐱²
12.|𝐌𝐅𝟏|-|𝐌𝐅𝟐|=2a
13,𝐬∆𝐚𝐛𝐜=|𝐌𝐅𝟏||𝐌𝐅𝟐|sin∠𝐅𝟏M𝐅𝟐 14.y ²=2px(p﹥0)
15.x ²=2py(p﹥0)
16，抛物线y²=2px﹙p＞0﹚正三角形的一个顶点A与原点O重合，另外两点B,C在抛物线上,则∆ABC的 边长为4√3P
17. 已知 抛物线y²=2px﹙p＞0﹚F为其焦点，L为其准线，AB过F，抛物线于A,B两点，A﹙𝐱𝟏.𝐲𝟏﹚B﹙𝐱𝟐.𝐲𝟐﹚𝐱𝟏. 𝐱𝟐.=⊥L, BN⊥L，且交L于M,N。则有①梯形AMNBAB=𝐱𝟏+𝐱𝟐＋P③AM＝AF.BN＝BF④AB的最小值
2p. ⑤∠MFN＝90°⑥𝐲𝟏𝐲𝟐=－p² ⑦AF=
P1−COSθ
P2
4
交
⑸AM
是直角梯形。②
为抛物线的通径AB=
2Psin²θ
⑧.BF=
P1＋COSθ
﹙θ为直线AB的倾角﹚⑨以AB为直
径的圆与抛物线的准线相切
18. y²＝8x的焦点为F，A﹙4.-2﹚为定的，在
找一点M,当lMFl＋lMAl最小时，则M点的坐
＿6＿＿。当llMFl－lMAll最大时，则M点的坐标＿2√2＿＿＿。
抛物线上
标＿
⒚.过抛物线y =ax ²﹙a＞0﹚的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,QF的长分别为p,q.则＋的值为4a＿＿＿＿。
𝐩
𝐪𝟏
𝟏
20过抛物线x²=2my﹙＞0﹚的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,QF
的长分别为p,q.则＋的值为＿＿＿＿。
𝐩
𝐪
𝐦
𝟏𝟏𝟐
21.过抛物线y²=2px﹙p＞0﹚上的任意一点M﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚的切线方程为y𝐲𝟎=p
﹙x＋𝐱𝟎.﹚
22.已知抛物线的方程为y²=4ax，F为焦点，若过焦点的直线交抛物线与A.B两点，
且AB=b,则∆OAB的面积为a√ab 23.已知抛物线y²＝2px﹙p＞0﹚内接∆OAB的重心是抛物线的焦点。则AB的直线方程为x＝3p/4
24,双曲线x²/a²-y²/b²=1.F是它的右焦点。L1. ½L2是它的两条渐近线。FM.FN分别垂直与L1. ½L2，交点为M.N.O为坐标原点，则有：①FM=FN=b ②MO=NO=a ③直线MN是准线x=a²/c ④MN=ab/c ⑤tan∠MOC=b/a ∠OMC=90°
25.椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0).直线MN:y=kx+m交椭圆与M,N两点，线段MN的中点为P,设OP的斜率为k1求证：K·k1=−a2 证明：椭圆的方程整理为：b²x²+a²y²=a²b²，将y=kx+m代入整理得：(b²+a²k²)x²+2a²kmx+a²(m²-b²)=0.由韦达定理得{坐标为﹙x0,y0)则 x0=
x1+x22
b2
x1+x2=x1x2=
−2a²kmb²+a²k²
a²(m2−b²﹚b²+a²k²
设M点的
=
−a²kmb²+a²k²b2
y0=
b²mb²+a²k²
于是, k1=
y0x0
=
b2mb2+a2k2−a2kmb2+a2k2=﹣b²／ka²
∴k k1=−a2.
,26. 若
P﹙𝐱𝟎.，𝐲𝟎﹚在双曲线
𝐱²𝐚²
－＝1(a﹥0，b＞
𝐛²𝐱𝐱𝟎.𝐚²
𝐲²
0) 上，则过P的切线方程为
27，若P﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在双曲线
𝐱²𝐚²
,- 𝐲𝐲𝟎𝐛²
＝1。
－＝1(a﹥0.b＞0) 外，过P作双曲线的两
𝐛²
𝐱𝐱𝟎.𝐚²
𝐲²
条切线L1，L2,交双曲线于A,B两点。则AB所在的直线方程为
𝐲𝐲𝟎𝐛²
－
＝1
𝐱²𝐲²
,28..设椭圆的方程为
𝐚²𝐛²
+＝1 (𝐚＞𝐛＞𝟎)直线L 与椭
圆相交于A.B设AB的中点为M﹙x0 y0 ﹚，则
𝐱𝟎𝐲𝟎+𝐚²𝐛²
·𝐤＝𝟎
29, 设双曲线的方程为
𝐱²𝐚²
－
𝐲²𝐛²
＝1
(𝐚＞𝟎，𝐛＞𝟎)直线L 与双曲线相交于A.B设
AB的中点为M﹙x0 y0 ﹚，则𝟎－
𝐚²
30，设抛物线的方程为
𝐱
𝐲𝟎𝐛²
·𝐤＝𝟎
y ²=2px (𝐩＞𝟎)直线L 与抛
物线相交于A.B，设AB的中点为M﹙x0 y0 ﹚，则y0 k=p
31， 双曲线
𝐱²𝐚²
－＝1(a﹥0.b＞0)的左右焦点分别为𝐅𝟏.，𝐅𝟐.,点P为双曲
𝐛²
γ𝟐
𝐲²
线上的任一点，∠𝐅𝟏.P𝐅𝟐.,= γ。则双曲线的焦三角的面积为S∆𝐅𝟏.P𝐅𝟐.=b²cot
32.双曲线
𝐱²𝐚²
𝐲²𝐛²
－＝1(a﹥0.b＞0)的焦半径公式：𝐅𝟏.﹙−c.0﹚.𝐅𝟐.﹙c.0﹚,当
M﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在右支上时，lM𝐅𝟏.l=e𝐱𝟎.＋a, lM𝐅𝟐.l=e𝐱𝟎.-a,当M﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在左支上时，lM𝐅𝟏.l=-e𝐱𝟎.＋a, lM𝐅𝟐.l=-e𝐱𝟎.-a
33 ，设过双曲线的一个焦点F作一条直线交双曲线于P.Q两点.A为双曲线长轴的一个顶点，L为双曲线相应于F的一条准线，连接AP.AQ分别交L于M.N两点，则MF⊥NF
34 AB是双曲线
𝐱²𝐚²
－＝1(a﹥0.b＞0)不平行于对称轴的弦,𝐌﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚是
𝐛²𝐛²𝐚²
𝐛²𝐲𝟎𝐚²𝐱𝟎.
𝐲²
AB的中点。KOMKAB=.即KAB=
𝐱²
𝐲²
35，双曲线
𝐚²
－＝1的渐近线方程为.±=0
𝐛²
𝐚
𝐛
𝐱²
𝐲²
𝐱𝐲
36设
P,﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚在双曲线－＝1(a﹥0.b＞0)内，
𝐚²
𝐛²𝐱,𝐱𝟎.𝐚²
则被P所平分的中点弦方程为
－
𝐲𝐲𝟎,𝐱𝟎.²𝐛²
=
𝐚²
－
𝐲𝟎²
𝐛²
,𝐱²𝐲²
37， P﹙𝐱𝐲𝟎﹚在双曲线－＝1(a﹥0.b＞0)内，
𝐚²𝐛²𝟎.则过P的弦的中点轨迹方程为
𝐱²𝐚²
－=
𝐛²
𝐲²,𝐱𝟎.²
𝐚²
－
𝐲𝟎²
𝐛²
38，椭圆
𝐱²𝐲²
𝐚²𝐛²
+＝1(a﹥b＞0)的两个顶点
，
𝐀𝟏﹙-a.0﹚𝐀𝟐﹙a.0﹚.与y轴平行
𝐱²𝐚²
的直线交椭圆于𝐏𝟏，𝐏𝟐时，A𝐏𝟏与A𝐏𝟐交点的轨迹是
39，过椭圆
𝐱²𝐲²𝐚²𝐛²
－＝1
𝐛²
𝐲²
+＝1(a﹥b＞0)上任一点A﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚,任意作两条倾斜角互补的
𝐛²𝐱𝟎𝐚²𝐲𝟎
直线交椭圆于B, C两点，则直线BC有定向且KBC=
𝐱²𝐲²
.
40.点若P为椭圆+＝1(a﹥b＞0)上异于长轴端点的任一点。𝐅𝟏..𝐅𝟐.是
𝐚²𝐛²
交点，∠P𝐅𝟏. 𝐅𝟐.=α,∠P𝐅𝟐. 𝐅𝟏.=β则,
𝐱²𝐲²𝐚²𝐛²𝐜
𝐚−𝐜
𝐚＋𝐜
.=tancot 𝟐
𝟐
αβ
41.设椭圆+＝1(a﹥b＞0)的两个焦点为𝐅𝟏. 𝐅𝟐.，P﹙异于长轴的端点﹚椭
圆上的任一点，则∆ P𝐅𝟏. 𝐅𝟐.中，∠𝐅𝟏.P 𝐅𝟐.=α,∠P𝐅𝟏.𝐅𝟐. =β, ∠P 𝐅𝟐.𝐅𝟏.=γ,则有
𝐬𝐢𝐧𝛂𝐬𝐢𝐧𝛃+𝐬𝐢𝐧𝛄𝐚
==e 𝐱²𝐲²𝐚²𝐛²
42. 设p椭圆+＝1(a﹥b＞0)的任一点，𝐅𝟏. 𝐅𝟐.为两焦点，A为椭圆内的一定的，则2a－lAF2 l≦lPAl＋lPF1l≦2a＋lAF1l
当且仅当A, 𝐅𝟐.,B三点共线时，等号成立
43. 已知椭圆+＝1(a﹥b＞0)，O为坐标原点，P,Q为椭圆上的两动
𝐚²𝐛²
𝐱²𝐲²
的，且OP⊥OQ⑴S∆OPQ的最小值为
𝐱²𝐲²𝐚²𝐛²
𝟏
𝐎𝐏𝐎𝐐
+
𝟏
＝+，⑵OP²＋OQ²的最大值为
𝐚²𝐛²
𝟏𝟏𝟒𝐚²𝐛²𝐚²＋𝐛²
⑶
𝐚²𝐛²
𝐚²＋𝐛²
。
44，过椭圆+＝1(a﹥b＞0)的右焦点F作直线交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线交X轴于点P，则
𝐥𝐏𝐅𝐥𝐥𝐌𝐍𝐥
＝
𝐞
𝟐
45. 已知椭圆+＝1(a﹥b＞0)，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直
𝐚²𝐛²
𝐱²𝐲²
平分线交X轴与的P﹙𝐱𝟎，0﹚，
𝐱²𝐲²𝐚²𝐛²
𝐚²－𝐛²𝐚
＜𝐱𝟎＜
𝐚²＋𝐛²𝐚
.
46. 设p点是椭圆+＝1(a﹥b＞0)异于长轴端点的任一点‘𝐅𝟏. 𝐅𝟐.为两焦点，记∠ 𝐅𝟐.P𝐅𝟏.=θ⑴lP𝐅𝟏.l·l𝐅𝟐.Pl=
𝟐𝐛²𝟏＋𝐜𝐨𝐬𝛉
⑵S∆𝐅𝟐.P𝐅𝟏.=b²tan
𝟐
θ
47.设A,B是椭圆+＝1(a﹥b＞0)的长轴长端点，P是椭圆上的一点，
𝐚²𝐛²
𝐱²𝐲²
∠PAB =α,∠PBA =β, ∠APB=γ,c,e分别是椭圆的半焦距，和离心率。则有⑴lPAl=
𝟐𝐚𝐛²𝐥𝐜𝐨𝐬𝛂𝐥
𝐱²
𝐚²－𝐜²𝐜𝐨𝐬𝛄²
𝐚²
⑵tanαtanβ=1－e² .⑶S∆PAB=
𝟐𝐚²𝐛²
𝐛²－𝐚²
cotγ
48, 过双曲线－＝1(a﹥0，b＞0)上任一点A﹙𝐱𝟎.𝐲𝟎﹚,任意作两条倾斜
𝐛²
𝐲²
角互补的直线交双曲线于B, C两点，则直线BC有定向且KBC=−
𝐱²
𝐲²𝐚²
𝐛²
𝐛²𝐱𝟎𝐚²𝐲𝟎
. 49，若点P为双曲线－＝1(a﹥0.b＞0)﹙左﹚﹚右支上除顶点外的任一点。𝐅𝟏..𝐅𝟐.是交点，∠P𝐅𝟏. 𝐅𝟐.=α,∠P𝐅𝟐. 𝐅𝟏.=β则,
𝐜−𝐚𝐚＋𝐜
𝐜−𝐚𝐚＋𝐜
.=tancot﹙或
𝟐
𝟐
αβ
.=tancot﹚
𝟐
𝟐𝐱²
𝐲²𝐚²
𝐛²
βα
50. 设双曲线－＝1(a﹥0，b＞0)的两个焦点为𝐅𝟏. 𝐅𝟐.，P﹙异于实轴的
端点﹚双曲线上的任一点，则在∆ P𝐅𝟏. 𝐅𝟐.中，∠𝐅𝟏.P 𝐅𝟐.=α,∠P𝐅𝟏.𝐅𝟐. =β, ∠P 𝐅𝟐.𝐅𝟏.=γ,则有
𝐬𝐢𝐧𝛂𝐲²
±﹙𝐬𝐢𝐧𝛃－𝐬𝐢𝐧𝛄﹚𝐚
𝐛²
==e。
𝐜
51，设,双曲线－＝1(a﹥0，b＞0)的左右两焦点分别为𝐅𝟏. 𝐅𝟐.，左准
𝐚²
𝐱²
线为L，则当1＜e≤√2＋1时，可在双曲线上求一点P，使得P𝐅𝟏.是P到相应
准线的距离d和P𝐅𝟐.的比例中项。 52. 设p双曲线
𝐱²𝐚²
－＝1(a﹥0 ，b＞0)的任一点，𝐅𝟏. 𝐅𝟐.为两焦点，A
𝐛²
𝐲²
为双曲线内的一定的，则lAF2 l－2a≦lPAl＋lPF1l
当且仅当A, 𝐅𝟐.,B三点共线和P，A, 𝐅𝟐.在y轴的同侧时，等号成立。
53. 已知双曲线
𝐱²
𝐚²
－＝1(a﹥0.b＞0)，O为坐标原点，P,Q为双曲线上
𝐛²
𝟏𝐎𝐏𝐎𝐐𝐚²𝐛²
𝐲²
的两动的，且OP⊥OQ⑴
𝟒𝐚²𝐛²𝐛²－𝐚²
+
𝟏
＝－，⑵OP²＋OQ²的最小值为
𝐚²
𝐛²
𝟏𝟏
⑶S∆OPQ的最小值为
𝐱²
𝐲²𝐚²
𝐛²
𝐛²－𝐚²
54，，过双曲线－＝1(a﹥0，b＞0)的右焦点F作直线交双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交X轴于点P，则
𝐱²
𝐲²𝐚²
𝐛²
𝐥𝐏𝐅𝐥𝐥𝐌𝐍𝐥
＝𝐞𝟐
55. 已知双曲线－＝1(a﹥0，b＞0)，A,B是双曲线上的两点，线段
AB的垂直平分线交X轴与的P﹙𝐱𝟎，0﹚，𝐱𝟎﹤-𝐱²
𝐲²𝐚²
𝐛²
𝐚²＋𝐛²𝐚
或𝐱𝟎＞
𝐚²＋𝐛²𝐚
.
56. 设p点是双曲线－＝1(a﹥0，b＞0)异于,实轴端点的任一点‘𝐅𝟏. 𝐅𝟐.为两焦点，记∠ 𝐅𝟐.P𝐅𝟏.=θ⑴lP𝐅𝟏.l·l𝐅𝟐.Pl=
𝐱²
𝐲²𝐚²
𝐛²
𝟐𝐛²𝟏－𝐜𝐨𝐬𝛉
⑵S∆𝐅𝟐.P𝐅𝟏.=b²cot
𝟐
θ
57, 设A,B是双曲线－＝1(a﹥0.b＞0)的实轴的端点，P是双曲线上的一点，∠PAB =α,∠PBA =β, ∠APB=γ,c,e分别是的半焦距，和离心率。则
有⑴lPAl=
𝟐𝐚𝐛²𝐥𝐜𝐨𝐬𝛂𝐥
𝐱²𝐚²𝐥𝐚²－𝐜²𝐜𝐨𝐬𝛄²𝐥
⑵tanαtanβ=1－e² .⑶S∆PAB=
𝟐𝐚²𝐛²
𝐛²＋𝐚²
cotγ
58, 过双曲线
－＝1(a﹥0,b＞0)的右焦点F作直线交双曲线的右支
𝐛²
𝐥𝐏𝐅𝐥𝐥𝐌𝐍𝐥
𝐲²
于M,N两点，弦MN的垂直平分线交X轴于点P，则
＝ 𝟐
𝐞
解析几何与向量可能出现的内容：
1. 2. 3. 4. 5.
给出直线的方向向量u⃗ =﹙m,n﹚.或u⃗ =﹙1，k﹚
⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB相交，等于已知OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB⃗⃗⃗⃗⃗ 过AB的中点 给出OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ =0,等于P是MN的中点 给出⃗PMPN
⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ =λ﹙⃗⃗⃗⃗ ﹚.等于P.Q与AB的中点三点共线。 ⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗给出⃗APAQBPBQ⃗⃗⃗ ∥⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ②存在实数λ，使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ③存在给出下列情形之一：①⃗⃗⃗AB AC AB AC ⃗⃗⃗⃗ =α⃗⃗⃗⃗⃗ +β⃗⃗⃗⃗⃗ ，等于A,B,C三点共线。 实数α，β且α+β=1使⃗OCOAOB6. 7.
⃗⃗⃗⃗ =OA+λOB ,等于已知P是⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的定比分点，λ为定比，即⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 给出⃗OPAB AP PB
1+λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,等于已知⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠AMB是直角；给出⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =给出⃗MAMBMAMBMAMB⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m＜0,等于已知∠AMBm＞0,等于已知∠AMB是锐角；给出⃗MA是钝角；
MAMB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，等于已知MP是∠AMB的角平分线 给出λ﹙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋lMB﹚=⃗MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ l
lMAl⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
8. 9.
⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ －⃗⃗⃗⃗⃗ 在平行四边形ABCD中，给出﹙⃗ABAD﹚﹙⃗ABAD﹚=0等于已知四边形ABCD是菱形。
10.
⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ －⃗⃗⃗⃗⃗ 在平行四边形ABCD中，给出l﹙⃗ABAD﹚l=l﹙⃗ABAD﹚l等于已知四边形ABCD是矩形。
11. 12. 13.
⃗⃗⃗⃗ ²=⃗⃗⃗⃗⃗ ²=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在∆ABC中，给出⃗OAOBOC²，等于已知O是∆ABC的外心。 ⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ =0，等于已知O是∆ABC的重心。 在∆ABC中，给出⃗OAOBOC⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ ，等于已知O是∆ABC的垂在∆ABC中，给出⃗OA·⃗⃗⃗OBOBOCOCOA心。
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MAMB
＋﹚﹙λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ l⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ llMBlMA
14.
⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ﹙在∆ABC中，给出⃗OPOA通过是∆ABC的内心。
⃗⃗⃗⃗ ∈R+﹚，等于已知⃗AP
15. 16.
⃗⃗⃗⃗⃗ ＋cOC⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ ，等于已知O是∆ABC的内心。 在∆ABC中，给出⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ aOA＋bOB0⃗⃗⃗⃗ ＋⃗⃗⃗⃗⃗ ﹚／2，等于已知AD是∆ABC中BC边在∆ABC中，给出⃗⃗⃗⃗⃗ AD=﹙⃗ABAC上的中线。
⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mcot∠AMB，等于已知∆AMB的面积。 给出⃗MAMB
17.
。
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