1高等数学

高等数学(1) 课程综合测试1 学习层次：专科 时间：90分钟

一、填空题（每小题3分，总15分）

1,x11.设函数fx，则ffx .

0,x12.lim12xx03sinx .  . 3.设ycos arcsinx，则dy2x32dx 1x1x2 .

xacosttsint5.曲线 a0,0t2的弧长等于 . yasinttcost4.



二、选择题（每小题4分，总20分）

1.设fx5x7x2，则当x0时，（ ）

A. fx与x等价无穷小量； B. fx与x是同阶但非等价无穷小量； C. fx是比x高阶的无穷小量； D. fx是比x低阶的无穷小量。

lnax2, x12.设函数fx，在x1处可导，则常数（ ）

x1xb, A.a0,b1; B.a3,bln41 C.a2,bln31; D.a1,bln21

3.设g(x)在,上严格单调减少，fx在xx0处有极大值，则（ ）. A.gf(x) 在xx0处有极小值； B. gf(x) 在xx0处有极大值；

C. gf(x) 在xx0处有最小值； D. gf(x) 在xx0处既无极值也无最小值. 4.若连续曲线yf1x与yf2(x)在a,b上关于x轴对称，则积分

 b af1xdx b afxdx的值为（ ）

A.2fxdx B. 2fxdx C.2fxfxdx D.0

a2 b b b1 a25.已知fx是可导的偶函数，且limx0f1xf12，则曲线yfx在（-1，

2x a122）处的切线方程是

A.y4x6 B.y4x2 C.yx3 D.yx1

三 解答下列各题(本大题共5小题，每小题7分，总计35分)

a1. 求　x2dx,其中a是常数.

1n22. 求数列的极限lim (123(n1)．nn221x3. 设　yarcsin,求dy.

24. 设f(x)在a，b上连续，且F(x)n2n x a (xt)f(t)dt，xa，b , 试求F(x)．5. 求极限lim(1)nsin(n2)．

四. 解答下列各题( 本 大 题10分 )

证明:当0时,不等式tantan成立. 222coscos

五. 解答下列各题(本大题共4小题，每小题5分，总计20分)

dx的敛散性．1. 讨论积分 p1x22. 在抛物线yx找出到直线3xk4y2的距离为最短的点

1，求y(n)． 3. 设　　y21x10米,在其上的温度布为4. 一金属棒长为

0x540,　　　　　T(x) 5x105x1040e,　　　求金属棒的平均温度值.

答案

一、填空题： 1.1 2.e 3.611

dx 4.ln2 5.2a2 22

二、选择题： 1.B 2.D 3.A 4.D 5.A

三、解答下列各题

(本大题共5小题，总计35分)

ax2dx,其中a是常数.

1n1n(n1)n22、原式lim lim2nnn222(n2)21、 求　3、dyy(x)dx 　4、F(x)x12(1x)xa2dx

F(x)xaxaf(t)dttf(t)dt

f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt

ax

F(x)f(x)

5、解：原式limnsin(n2n)

n2 limnsinn lim2n 2n2n2

n2n2 lim

n2121n 

四、解答下列各题（10分）

n2

证明:令f(t)tant,则当0t时,f(t)可导2且f(t)sec2t,对f(t)在[,]上应用拉格朗日中值定理 则至少存在(,),使f()f()f()()

1即tgtg()　　*　

cos2111 又0,从而2cos2cos2cos2由*知当0时2

tantan2coscos2五、解答下列各题

(本大题共4小题，总计20分)

1、当p1时，

bdxdx11b11limlimlim(1xpb1xpb1pxp11b1pbp11) 1，p1 p1

　，p1当p1时, dxdxblimlnx1xp1xb1dx1xp当p1时收敛，当p1时发散.



2、(本小题5分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为

d3x4x229161(4x23x2) 5

1d(8x3)5唯一驻点　xd3 88053故当x时,d最小

893即点，到直线3x4y20的距离最短

864(注如用切线平行于已知直线解也可以) 3、(本小题5分)

1(x1)1(x1)12

1y(1)(x1)2(x1)221y(1)(2)(x1)3(x1)3

21y(n)(1)(2)(n)(x1)n1(x1)n12

111　(1)nn!2(x1)n1(x1)n1y

4、(本小题5分)

1051x10T40.540edx

105

10204e5x510dx102040ex510

5

2040(e 6040e

121)

1235.7中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院

高等数学(1) 课程综合测试2 学习层次：专科 时间：90分钟

一、填空题5分×4

11.曲线yx的渐近线是 x22exex 2.设x0，则d23.设fxx19991gx，其中gx连续且g11，则f1 4.曲线rasin所围图形的面积为 

二、单项选择题5分×4

1.设偶函数fx有连续二阶导数，且f00，则x0 A.不是fx的驻点 B.一定是fx的极值点

C.一定不是fx的极值点 D.不能定是否为fx的极值点

112.lim1xxlimxsin等于 x0xx11A.e B.e C.e1 D.e1

3.设ysin4xcos4x则yn

n1nnA.2sin2x B.cos2x

22n1n1nC.2cos2x D.sin2x

22fx4.设fx有二阶连续导数，且f00，lim1，则 . x0xA. f0是fx的极大值 B. f0是fx的极小值 C. （0,f0)是曲线yf(x)的拐点

D. f0不是fx的极值，（0,f0)也不是曲线yf(x)的拐点

三、计算题(每小题5 分，共20分，注意所有题目均应有主要求解过程，并适当说明理由，没有过程不给分

1. 设常数a>0, 求数列极限I＝limn(nan1a).

n2xa(costtsint)dyd2y,2. 设 求. 2ya(sinttcost)dxdxx2(n)

3. 设y=求y. 21x2y24. 设方程xyecos(xy)确定y=y(x), 并满足y(0)=0, 求y\"(0).

四. 设f(x)2(1cosx)x01x30costdtx2x0x0讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性.（10分） x0

五. 设Insinnxdx, 建立In的递推公式. （10分）

六. 计算定积分10xxadx, 其中a为实数. （10分）

七. 过曲线y3x(x≥0)上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积

3

S. 1) 求点A的坐标；2) 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. （10分）

4

答案

一、填空题（每小题5分，共20分）

3x22x22 1.x0 y0 2.2eex 3.1999 4.a 4

二、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.B 2.D 3.A 4.B 三、计算题（每小题5分，共20分）

111122n(n1)nn1n11limalimna1 １、Ilimnaannn1limn2lnalna nn(n1)1n1dytsintd2ysec2tsec2ttant ２、 dxtcostdx2atcostatx2111111 ３、y11 221x1x2x1x1(n)(n)n11111(1)n!(n)y n1n12x1x12x1x12y2４、方程两边对x求导得：y2xyyeysin(xy)(12yy) 由y(0)0得y0，再将上式对x求导得

2yy2yy2x(y)22xyyey(y)2eyycos(xy)(12yy)sin(xy)2(y)2yy由y(0)0,y0得y(0)1

2(1cosx)0 四、（10分）limx0x3x2cosx333limlimxcoxs0 2x0x0x022xxf(x)limf(x)f(0)0 lim0x0x0

2222

limx3costdt f(0)limx02(1cosx)1 2xx30cotsdt3x2cosx33limlimcosx1 32x0x0x0x3xf(0)f(0)1

五、（10分）

n1n1n1 Insinxdcosxcosxsinxcosxdsinx

f(0)lim

cosxsinn1x(n1)cos2xsinn2xdx cosxsinn1x(n1)(1sin2x)sinn2xdx

cosxsinn1x(n1)In2(n1)Inn11In2cosxsinn1x （n0,1） nn111a六、若a0,则xxadxxxadx （10分）

003211a1若a1,则xxadxxaxdx

0023Ina3a1若0a1,则xxadxxaxdxxxadx

00a32331设点A的坐标为（t,t）七、（10分）○，其中t0，则曲线y3x在点A的切线方程

1a1是

y3t1323tx2 即y3t

33t23 S(xt)

令y0，得此切线与x轴交点的横坐标x02t，其面积为

t133t3t3xdxt33t

0243 令S,有t1，于是点A的坐标是（1，1）

42图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 ○

121 V313032xdx5

32

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院

高等数学(1) 课程综合测试3 学习层次：专科 时间：90分钟

一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）

1．设f(x)g(x)，则df(sin2x)= . 212．lim(sincos)x .

xxxx223．设f(x1)ln2，且f [g (x)]=lnx，则g(x)dx= .

x2

二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均不得零分） 1．设f (x)在[0,1]上有f(x)>0，且f(0)=0，则f(1)，f(0)，f (1)－f (0)，或f (0)－f (1)的大小顺序是：（ ）

（A）f(1)>f(0)> f (1)－f (0)； （B）f(1) > f (1) －f (0)>f(0)；

（C）f (1)－f (0)>f(1)>f(0)； （D）f(1) > f (0) －f (1)>f(0)

1 2.设ab<0，f(x)则在ax（A）只有一点； （B）有两个点； （C）不存在； （D）是否存在与a,b之值有关.

1xarctgx1的间断点类型是（ ） 3．f(x)2xsin2（A）可去； （B）跳跃； （C）无穷； （D）A、B、C都有.

三、求解下列各题（每小题5分，共计30分）

1． 求极限：lim(1xe)x012xx2

2． 已知f(x)(x31)g(x),g(x)连续，且g(1)1，求f'(1) 3． 求不定积分：

1e2(lnx)2dx

4． 设f(x)x5ax3bx在x1处取得极值56，求f(x)

2x2sinx,x05． 设f(x)，求f(x)dx

3xcosx,x06． 求I(x)

0xtetdt的极值

aa1a3...n0，证明在(0,1)内方程23n12四．（6

分）若a0a0a1xa2x2...anxn0至少有一个实根.

x2,x1五（6分）设f(x)，为了使f(x)在x1处连续且可导，a,b应各取什么

axb,x1值。

六（10分）a,b分别取什么值时，下式成立：limx0axsinx0ln(1tx2b,(b0)

)dt

xa(tsint)七．（10分）求摆线,(0t2)的一拱与x轴所围成图形的面积。

ya(1cost)

八（10分）求由y2x,x2及x轴围成的平面图形绕x轴旋转所成旋转体体积。

九（10分）证明：x0时，ln(1x)

arctgx 1x答案

一：填空

1.g(sin2x)sin2xdx；2.e2；3.x2lnx1C 二：选择： 1.B 2.A 3.D 三：求解：

1：原式＝lim[(1x011x2ex2x2x2ex)xe]xlim[(1x012xxx2ex)xe]ee

2:解：

f'(x)(x31)'g(x)(x31)g'(x)3x2g(x)(x31)g'(x),f(1)3g(1)33: 解：

'

1e21(lnx)dxx(lnx)|xd(lnx)4ex2(lnx)dx11x

22e212222e21e21e21e2e24e2lnxdx4e2[xlnx|xd(lnx)]2e224:解：

由于f(x)在任意点可导，故f'(1)0,f(1)56,f'(x)5x43ax2b,f'(1)53ab,且f(1)1ab56 ,由以上两式有:a30,b85 5：解：

32f(x)dx(xcosx)dx(x2sinx)dx3002x2x3502(sinx)|3(cosx)|0sin3cos22366：解：I(x)xe'x2

,I'(x)0x0,x0时，I'(x)0,I(x)单调下降，

x0时,I'(x)0,I(x)单调上升，故x0为I(x)极小值点，极小值为I(0)0。

aa2a3n1四：解：设f(x)a0x1x3x...nx，易知f(1)0,f(0)0，又f(x)23n1在[0,1]连续，在(0,1)可导，由罗尔中值定理：至少(0,1)使f'()0，即

n，即原方程在(0,1)至少有一个实根。 a0a1a22...a0n五：解：f(10)limf(x)limx1;f(10)limf(x)limaxbab

x1x1x1x12f(x)f(1)x21lim2，由题意：f(10)f(10)，故ab1，f(1)limx1x1x1x1f(x)f(1)axb1a(x1)f'(1)limlimlima

x1x1x1x1x1x1由题意由有：f'(1)f'(1)a2，由上有：a2,b1

acosx2xlimln(1x)，0故六:解：由洛比达法则：limxaxsin，由于lim22x0x0x0ln(1x)0ln(1t)dt'lima(coxs)0a，1继续对上述极限运用洛比达法则有，上述极限＝

x0lim1cosxx0ln(1x2)sinx1x2sinx1limlim. x02xx02x21x2七：解：s八：解：v02aydxa2(1cost)2dt3a2。

0204x3203202y2dx4x2dx|32 3x)ln(1xa)rc。tg则x九：解：只需证(1x)ln(1x)arctgx，设f(x)(11x2x0,f(x)ln(1x)1ln(1x)0。故f(x)在(0,)单调上升。 221x1x'