北师大版七年级下册数学精题讲解2

一. 计算：2-2-2-2-„„-2-2+2.

分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考

2322234232322

虑.2-2+2=2+2（-1+2）=2+2=6.再考虑2-2-2+2=2-2+2（-1+2）=2-2+2=2+2（-1+2）=2+2=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.

2341819

解 原式=2-2-2-2-„„-2+2（-1+2）

2341819

=2-2-2-2-„„-2+2

2341718

=2-2-2-2-„„-2+2（-1+2） 2341718=2-2-2-2-„„-2+2 =„„ 23=2-2+2 2

3

4

18

19

20

=6

22二. 15=225=100×1（1+1）+25， 25=625=100×2（2+1）+25 2235=1225=100×3（3+1）+25， 45=2025=100×4（4+1）+25„„ 2275=5625= ，85=7225= （1）找规律，把横线填完整； （2）请用字母表示规律; 2（3）请计算2005的值. 分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变. 22 解 (1)75=100×7（7+1）+25，85=100×8（8+1）+25 2(2)(10n+5)=100×n（n+1）+25 2(3) 2005=100×200（200+1）+25=4020025

三. 如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S表示三角形的个数. （1）当n=4时，S= ， （2）请按此规律写出用n表示S的公式.

n=2,S=5n=1,S=1n=3,S=9

①③②

分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的. 解 (1)S=13 (2)可列表找规律： n S 1 1 2 5 3 9 „ „ n 4(n-1)+1 S的变化过程 1 1+4=5 1+4+4=9 „ 1+4+4+„+4=4(n-1)+1 所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)

诚信 责任 专业 专注 保提高 www.hoyoedu.com 学习咨询电话：86062066 QQ免费辅导：1002450787

WELCOME TO THE HOYO EDUCATION 郑州环宇教育—做最负责任的良心教育 四. 已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证：AB∥CD.

分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD.连接BD，利用同旁内角互补也可证明.

解 延长BE交CD于O， ∵∠BED=60°, ∠D=20°，

BA∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°, ∵∠B=40°， FGE∴∠BOD=∠B， ∴AB∥CD. DCO其他方法，可自己试试！ 练习巩固：如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α.(提示：本题可看作例2的升级版)

D EC

AB

五. 如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证： ∠EDF=∠BDF. 分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论. 解 ∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴CE∥DF A∴∠EDF=∠DEC， ∠BDF=∠DCE， E ∵AC∥ED， ∴∠DEC=∠ACE， F∴∠EDF=∠ACE. CBD∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠DCE=∠ACE， ∴∠EDF=∠BDF.

六． 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数. 分析 已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数. 解 ∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线， 11∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA， 221111∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°， 2222∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°. （注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-=90°+

COAB1（180°-∠C） 21∠C. 2 所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住.）

诚信 责任 专业 专注 保提高 www.hoyoedu.com 学习咨询电话：86062066 QQ免费辅导：1002450787

WELCOME TO THE HOYO EDUCATION 郑州环宇教育—做最负责任的良心教育 七. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE.求证：△ADB≌△DEC.

分析 要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知，找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.

证明 ∵AB=AC， A∴∠B=∠C，

E∵∠1=∠B， 1BCD∴∠1=∠C，

∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1 ∴∠BDA=∠CED. 在△ADB和△DEC中 BCBDACED， ADDE∴△ADB≌△DEC （AAS）.

八. 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD. 分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程. 证明 在AB上截取AF=AC，连接EF， DE∵EA别平分∠CAB， C∴∠CAE=∠FAE， 在△ACE和△AFE中 ACAFCAEFAE， AEAE∴△ACE≌△AFE（SAS）， ∴∠C=∠AFE. ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D=180°， ∵∠AFE+∠BFE=180°， ∴∠BFE=∠D. ∵EB平分∠DBA, ∴∠FBE=∠DBE 在△BFE和△BDE中 AFBFBEDBEBFED BEBE∴△BFE≌△BDE(AAS), ∴BF=BD. ∵AB=AF+BF, ∴AB=AC+BD.

诚信 责任 专业 专注 保提高 www.hoyoedu.com 学习咨询电话：86062066 QQ免费辅导：1002450787

WELCOME TO THE HOYO EDUCATION 郑州环宇教育—做最负责任的良心教育 九. 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ.

分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°.

证明 （1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，

AP∴∠AEC=∠ADB=90°，

EQD∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°， ∴∠ABP=∠QCA

BPCA在△ABP和△QCA中ABPQCA∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ. CQBABC（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ. 十. 下列图形中对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H. 十一. 如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH„„添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根. 分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了. 解 每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB.AGM可列表找规律： E添加钢管数 1 2 3 4 „ 8 OFHB形成的外角度数 20 30 40 50 „ 90 当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根. 十二. 小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？ 分析 本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定C点. 解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置.

诚信 责任 专业 专注 保提高 www.hoyoedu.com 学习咨询电话：86062066 QQ免费辅导：1002450787