三角形的外心内心垂心重心

三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三

角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心． 一、外心

【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心．ABC的重心一般用字母O表示. 【性质】

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC.

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边,即ODBC,OEAC,OFAB. 3.A111BOC,BAOC,CAOB. 222

二、内心

【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心.ABC的内心一般用字母I表示. 【性质】

1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角.

1２.三角形的面积=三角形的周长内切圆的半径.

23.AEAF,BFBD,CDCE；

AEBFCD三角形的周长的一半.

1114.BIC90A,CIA90B,AIB90C．

222

三、垂心

【定义】三角形三条高的交点叫重心.ABC的重心一般用字母H表示. 【性质】

1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即AHBC,BHAC,CHAB． 2.△ABH的垂心为C，△BHC的 垂心为A，△ACH的垂心为B.

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四、重心

【定义】三角形三条中线的交点叫重心.ABC的重心一般用字母G表示. 【性质】

１.顶点与重心G的连线必平分对边.

2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xGxAxBxCyyByC. ,yGA334.向量性质：（1）GAGBGC0;

1 (2）PG(PAPBPC)，

31５.SBGCSCGASAGBSABC．

3

三角形“四心”的向量形式:

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA， 则点O为ABC的垂心.

结论2：若点O为△AＢC所在的平面内一点，满足

OABCOBCAOCAB， 则点O为ABC的垂心.

结论３：若点G满足GAGBGC0,则点G为ABC的重心.

1结论４:若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG(OAOBOC)，

3222222 则点G为ABC的重心.

结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足aIAbIBcIC0

（其中a,b,c为三角形的三边），则点I为△ABＣ的内心. 结论6:若点O为ABC所在的平面内一点,满足

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC,则点O为ABC的外心．

结论7：设0,，则向量AP(内心.

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ABAC)，则动点P的轨迹过ABC的

|AB||AC|--

向量和“心”

一、“重心”的向量风采

【命题１】 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GAGBGC0,则G是

△ABC的重心.如图⑴.

CA'GA

图⑴

PBM AB

CO图⑵

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P【命题2】 已知O是平面上一定点,A满足OPOA(ABAC),(0，),则P的轨迹一定通过△ABC的重心. 【解析】 由题意AP(ABAC)，当(0，)时,由于(ABAC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图

⑵.

二、“垂心”的向量风采

【命题3】 P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA,则P是

△ABC的垂心.

【解析】 由PAPBPBPC,得PB(PAPC)0，即PBCA0，所以

PB⊥CA.同理可证PC⊥AB,PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶．

AECMB

CP

图⑶

PAOHF图⑷

B，B，C是平面上不共线的三个点,动点P【命题4】 已知O是平面上一定点，A--

--

ABAC，(0，满足OPOA),则动点P的轨迹一定通过ABcosBACcosC△ABC的垂心．

ABAC，由于 【解析】 由题意APABcosBACcosCABACBC0，即ABBCACBCBCCB0，所以ABcosBACcosCABcosBACcosCAP表示垂直于BC的向量,即P点在过点A且垂直于BC的直线上,所以动点P的

轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采

【命题5】 已知I为△ABC所在平面上的一点,且ABc,ACb，BCa .若

aIAbIBcIC0，则I是△ABC的内心. A

BCOcIaPCbAB图⑸ 图⑹

【解析】 ∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得

(abc)IAbABcAC0,

ABAC, ∵bABcACACABABACACABABACABACbcABAC．∴AI∵与分别为AB和AC方向

abcABACABAC上的单位向量，

∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分BAC.

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同理可证:BI平分ABC,CI平分ACB．从而I是△ABC的内心，如图⑸. 【命题6】 已知O是平面上一定点,A，B，C是平面上不共线的三个点,动点

ABAC，(0，),则动点P的轨迹一定通过△ABCP满足OPOAABAC的内心.

ABAC,∴当(0，【解析】 由题意得AP)时,AP表示BAC的

ABAC平分线所在直线方向的向量,故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心,如图⑹．

四、“外心”的向量风采

【命题7】 已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2,则O是

△ABC的外心.

C

B

P MB A OOC A 图⑻ 图⑺

222222【解析】 若OAOBOC，则OAOBOC,∴OAOBOC，则O是△ABC的外心,如图⑺.

，B，C是平面上不共线的三个点,动点【命题７】 已知O是平面上的一定点,AOBOCABAC,(0，)，则动点P的轨迹P满足OPABcosBACcosC2一定通过△ABC的外心. 【解析】 由于

OBOC2)过BC的中点,当(0，ABAC表示垂直于BC的向量，所以P在BC垂直平分线时,ABcosBACcosC--

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上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻.

练习：

1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0,若实数

满足:ABACAP，则的值为( ）

A.2 Ｂ.

3 C．３ D.6 22．若ABC的外接圆的圆心为O,半径为1，OAOBOC0,则OAOB( ) A.

11 B．０ C.1 D． 22３.点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0,则ABC面积与凹四边形

ABOC面积之比是( )

354A.０ B. Ｃ． D．

2434.ABC的外接圆的圆心为O,若OHOAOBOC,则H是ABC的（ ） A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心

５．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点,若OABCOB

222CAOCAB,则O是ABC的（ ）

A．外心 B.内心 C．重心 Ｄ.垂心

6.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H，

222OHm(OAOBOC)，

则实数m ＝

7.(06陕西)已知非零向量错误!与错误!满足(错误!+错误!)·错误!=0且错误!·错误!=１

2 , 则△ABC为（ )

A.三边均不相等的三角形 Ｂ.直角三角形

C．等腰非等边三角形 D.等边三角形 8．已知ABC三个顶点A、B、C,若ABABACABCBBCCA,则

2ABC为（ )

A．等腰三角形 Ｂ.等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案:Ｃ、Ｄ、Ｃ、D、D、1、D、Ｃ

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