九年级数学上册专题突破讲练相似中的“射影定理”试题新版青岛版

相似中的“射影定理”

1. 射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）AD2BDDC （2）AB2BDBC （3）AC2CDBC

△ABC∽△ABD∽△DAC

注意：

（1）在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便可求出其余四条；

（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条； （3）平方项一定是两相似三角形的公共边。

2. 定理推论

在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足BADC，则有AB2BDBC。

△ABD∽△CBA

例题1 已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA。

解析：根据△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得CDCECA和CDCFCB利用等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。

答案：证明：在Rt△ADC中，由射影定律得，CDCECA， 在Rt△BCD中，CDCFCB ∴CECACFCB

2222

CECF CBCA∵ECFBCA

∴

∴△CEF∽△CBA

点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。

例题2 已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D。若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE。

求证：（1）AE2AD•AB （2）ACFAED

解析：（1）根据AE＝AC，可以把结论转化为证明ACAD•AB，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC即可。（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED＝∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。

答案：（1）连接BC，

2

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° ∵CD⊥AB， ∴△ACD∽△ABC， ∴

ACAB ADAC2∵AC＝AE， ∴AEAD•AB

（2）∵AEAD•AB，∠EAD＝∠BAE， ∴△ADE∽△AEB， ∴∠AED＝∠B

∵∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠AED

点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。

2

【要点总结】

射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。

例题 如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞a），若tanDCE1a，求的值。 3b

解析：在Rt△ABC中，利用射影定理得到BC2BD•BA，进而得到BD的表达式，由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系式DE＝BE﹣BD，再根据正切函数的定义，建立关于a、

b的关系式。

答案：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴BC2BD•BA，

abBC2a211即：BD。由等面积法知：abABCD，∴CD。 2222BA22abab122a2b2a2ab又因为CE是中线，则DEBEBD。

22222ab2abb2a212a2b21在Rt△CDE中，tanDCE， 得：3a22ab3b20，

ab33a2b2110a101a101解得a或（舍负值）。 b，于是有3b3b3点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD＝9：4，则AC：BC的值为（ ） A. 9：4

B. 3：2 C. 4：9

D. 2：3

*2. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若A.

4 322B.

3 4AC3BD，则＝（ ） AB4CD169C. D.

91622*3. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，M为BC中点。下列关系式中正确的是（ ） A.ACAB2DMBC B. ACBC2DMAC

C.ACAB2DMAC D. BCAB2ADAC

**4. 若正实数x，y，z满足①x2y2z2， ②zx2r2r2。则下列关系式中正确的是（ ） A.xyzr B. xyzr C. xyzr D. 无法确定

二、填空题

*5. 如图，△ABC中ABAC，点D在BC上，以BD8为直径作⊙O，恰过A点，若AC与⊙O相切，则AB的长为 。

2222*6. 如图，矩形ABCD中，

AB513，点E在BC上，点F在CD上，且ECBC，FCCD，BC665

FG⊥AE于G，则AG：GE＝ 。

*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，

b的正方形拼成一个大正方形。图中Rt△ABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示）。

*8. Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则AB,AC,AD 三者之间的等量关系式为 。

三、解答题

*9. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦CE交AB于点F，

求证：AC2AG•AE。

222

*10. （沈阳模拟）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，

垂足为E。

求证：（Ⅰ）AB•ACAD•BC （Ⅱ）AD3BC•BE•CF

**11. 已知：如图，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H。求证：GDGF•GH。

2

**12. （莆田）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D。求证：AB2AD•AC； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交

AC于点F。

ABBDAF1，求的值； BCDCFCABBDAFn，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的BCDCFC（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F。若式子表示），不必证明。

21. B 解析：由射影定理得CDADBD，又∵AD:BD9:4， ∴AD:BD:CD9:4:6，∴AC:BCAD:CD3:2，故选B。 2. C 解析：由勾股定理得：AC:AB:BC3:4:5 ∵AD⊥BC，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC ∴AB2BDBC，AC2CDBC

AB2BDAB24216BC，选C。 CDAC2AC2329BC3. A 解析：由∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴△ABC∽△DBA∽△DAC，

可得ACCDBC，ABBDBC。

221BC， 2∴AC2AB2BCCDBDBCCMDMBMDM2BCDM。

又∵M为BC中点，可得AMBMCM4. B 解析：如图，由条件①xyz可构造Rt△ABC， 由条件②zx2r2r2联想到射影定理，作斜边z上的高r， 由三角形的面积可得：

22211xyzr，即xyzr。 22CyxrzDB

Axr225. 43 解析：连接AD，作AHBC于H点，

设ABACx，CDy， 由△CAD∽△CBA 得：xyy8①

2

AB2x2， 由射影定理得：ABBHBD，故BHBD8x2x2② 又知H为BC中点，故BC2BH，即8y284由①、②解得：x43。

AB513，FCCD，6. 4∶1 解析：矩形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且ECBC，BC6652

FG⊥AE于G，∴DF2ADDFADDFCD，∴2，2，∴， 5CFCECFCEADDF2，∠AFD＝∠FEC， 又∵∠ECF＝∠FDA，∴△CEF∽△DFA，∴

CFCE∴∠AFD＋∠CFE＝∠FEC＋∠CFE＝90°，∴∠AFE＝90° 又∵FG⊥AE，∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG， ∴

AFAGFGAFFG12，则AG＝2FG，＝2，∴EGFG， EFFGEGEFEG2∴AG＝4EG，AG：GE＝4：1。

a2b2a2b22

7. 解析：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，由BC＝a•AB可得AB。

aa1118. 222ADABAC解析：由射影定理可得：AD2BDDC，AB2BDBC，AC2CDBC；

111111,,∴， AD2BDCDAB2BDBCAC2CDBC111化简可得。 222ADABAC9. 证明：延长CG，交⊙O于点M，∵AB⊥CM，∴ACAM，∴∠ACG＝∠E 又∵∠CAG＝∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴

ACAG2 ∴ACAG•AE AEAC

10. 证明：（Ⅰ）因为Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC。显然△ABD∽△CBA

ABBC，即AB•ACAD•BC ADAC（Ⅱ）∵由射影定理知AD2AE•AB

DFBEABED,又由三角形相似可知，且DF＝AE CFEDBCAD∴AE•AB•ADBC•CF•BE，结合射影定理 ∴AD3BC•BE•CF

∴

11. 证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠DGC＝∠DGB＝90°，∠CDB＝90°， 由射影定理得：△CGD∽△DGB，∴DGBG•CG ， ∵CE⊥AB，∴∠ECB＋∠CBE＝90°，

又∠H＋∠GBH＝90°，∴∠ECB＝∠H，∠FGC＝∠HGB＝90°，

2GFGC， GBGH2∴GF•GHBG•GC ∴GDGF•GH

∴△CGF∽△HGB，∴

12. （1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC， 又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴

ABAD，∴AB2AD•AC。 ACAB

（2）解：方法一：

如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。 ∵

ABBD1，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC， BCDC1EG 2又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴EDGD由（1）可得：AB2AEAD，BD2DE•AD，

22AE4DE2BDAEAB2。 ∴，∴AE＝4DE，∴422EG2DEDEBDBDAFAE2。 ∵CG∥BF，∴

FCEG方法二：

如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，

ABBD11，∴BDDCBC，AB＝BC。 BCDC2FGBD1，FC＝2FG。 ∵DG∥BF，∴

FCDC2由（1）可得：AB2AE•AD，BD2DE•AD，

222BDAEAB∴4， 22DEBDBDAFAEAFAF4，∴2。 ∵DG∥BF，∴

FGDEFC2FG∵

（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段BC上时，如图④所示： 过点D作DG∥BF，交AC边于点G。

ABBDn，∴BDnDC，BCn1DC，ABnn1DC BCDCFGBDnn，∴FGnGC，FGFC ∵DG∥BF，∴

GCDCn1由（1）可得：AB2AE•AD，BD2DE•AD，

∵

AEAB2nn1DCn12；

∴2DEBD2nDCAF2AFAEAFn12n1，即nn2n； ∵DG∥BF，∴，化简得：

FCFGDEFCn1（Ⅱ）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G。同理可求得：（Ⅲ）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G。同理可求得：

2AFn2n； FCAFnn2。 FC