如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯
5.1认识一元一次方程
一、选择题
1．下列方程中是一元一次方程的是( )
2
A．x＋x＝5 B．3x－y＝2 C．2x＝x
3
D.＋1＝0 x
2．等式2x－y＝10变形为2x＝10＋y的依据是( )
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．乘法对加法的分配律 3．若a＝b，则下列式子不正确的是( ) A．a＋1＝b＋1 C．－a＝－b
B．a＋5＝b－5 D．a－b＝0
4．下列方程中，解为x＝2的是( ) A．3x＋3＝x
B．－x＋3＝0
C．4x＝2
D．5x－2＝8
5．下列运用等式的基本性质进行的变形，不正确的是( ) ab2
A．如果a＝b，那么2＝2 B．如果a＝3a，那么a＝3
c＋1c＋1C．如果a＝b，那么a－c＝b－c D．如果a＝b，那么2a＝b＋a 6．一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程( ) A．3x－2x＝10
B．3x＋2x＝10
C．3x＝2×10
D．3x＝2x－10
7．一元一次方程x－2＝0的解是( ) A．x＝2
B．x＝－2
C．x＝0
D．x＝1
2
8．小明有一本课外书，第一天读了全书的，还剩24页没读，这本书共有多少页？如果设这本书有x页，那么下
3面所列方程正确的是( )
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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2
A.x＝24 3
2
B.x＋24＝x 3
2
C.x＝x＋24 3
2
D.x＋x＝24 3
9．设x，y，c是有理数，下列选项正确的是( ) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc xyxy
C．若x＝y，则＝ D．若＝，则2x＝3y
cc2c3c10．下列各式中，一元一次方程有( )
①－3－3＝－7；②3x－5＝2x＋1；③2x＋6；④x－y＝0；⑤a＋b＞3；⑥a＋a－6＝0. A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
10．下列说法中，正确的是( )
A．x＝－1是方程4x＋3＝0的解 B．m＝－1是方程9m＋4m＝13的解 C．x＝1是方程3x－2＝3的解 D．x＝0是方程0.5(x＋3)＝1.5的解
11．设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图(1)，(2)所示，天平保持平衡．如果要使得图(3)中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为( )
2
A．6个 二、填空题 12．若方程2x
a－2
B．5个 C．4个 D．3个
－3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝_____．
13．填写下列各等式变形的依据及方法：
(1)若3x＋1＝2，则3x＝2－1，利用的是等式的基本性质1，变形的方法是_____． (2)若－2x＝－6，则x＝3，利用的是等式的基本性质2，变形的方法是_____． (3)若2(x－1)＝4，则x－1＝2，利用的是等式的基本性质2，变形的方法是_____．
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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14．将方程4x－5＝7的两边同时_____，得4x＝12，这是根据_____；再将方程4x＝12的两边同时_____，得x＝3，这是根据_____．
15．x＝－2和x＝3中，是方程5x－10＝5的解的是_____．
16．李红买了8个莲蓬，付了50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为_____． ab
17.若＝，则a_____b.(填“＜”“＞”或“＝”)
mm
18．若x＝1是方程2ax－3bx＝10的解，则3b－2a的值为_____．
19．小青的年龄比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍．设小青今年x岁，则根据题意列方程，得_____．
20．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定2_____． 三、解答题
a c
b
1
＝ad－bc，如d3
2
x －2
＝1×4－2×3.若＝－2，则x＝43 －4
21．一个正方形花圃边长增加2 m，所得新正方形花圃的周长是28 m，则原正方形花圃的边长是多少？(只列方程)
22．利用等式的基本性质解下列方程： (1)8＋x＝－5；
(2)3x－4＝11.
23．某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道应用题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40 km，摩托
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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车的速度为45 km/h，运货汽车的速度为50 km/h，？”请你将这道作业题补充完整，并列出方程．
24．已知3b－2a－1＝3a－2b，请利用等式的基本性质比较a与b的大小．
25．(1)已知(m＋1)x|m|
＋2＝0是关于x的一元一次方程，求m的值； (2)已知(2m－8)x2
＋x3n－2＝－6是关于x的一元一次方程，求m，n的值．
参考答案 一、选择题
1．下列方程中是一元一次方程的是(C)
A．x2
＋x＝5 B．3x－y＝2 C．2x＝x
D.3
x
＋1＝0 2．等式2x－y＝10变形为2x＝10＋y的依据是(A)
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．乘法对加法的分配律
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3．若a＝b，则下列式子不正确的是(B) A．a＋1＝b＋1 C．－a＝－b
B．a＋5＝b－5 D．a－b＝0
4．下列方程中，解为x＝2的是(D) A．3x＋3＝x
B．－x＋3＝0
C．4x＝2
D．5x－2＝8
5．下列运用等式的基本性质进行的变形，不正确的是(B) ab2
A．如果a＝b，那么2＝2 B．如果a＝3a，那么a＝3
c＋1c＋1C．如果a＝b，那么a－c＝b－c D．如果a＝b，那么2a＝b＋a 6．一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程(A) A．3x－2x＝10
B．3x＋2x＝10
C．3x＝2×10
D．3x＝2x－10
7．一元一次方程x－2＝0的解是(A) A．x＝2
B．x＝－2
C．x＝0
D．x＝1
2
8．小明有一本课外书，第一天读了全书的，还剩24页没读，这本书共有多少页？如果设这本书有x页，那么下
3面所列方程正确的是(B) 2
A.x＝24 3
2
B.x＋24＝x 3
2
C.x＝x＋24 3
2
D.x＋x＝24 3
9．设x，y，c是有理数，下列选项正确的是(B) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc xyxy
C．若x＝y，则＝ D．若＝，则2x＝3y
cc2c3c10．下列各式中，一元一次方程有(A)
①－3－3＝－7；②3x－5＝2x＋1；③2x＋6；④x－y＝0；⑤a＋b＞3；⑥a＋a－6＝0.
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法中，正确的是(D)
A．x＝－1是方程4x＋3＝0的解 B．m＝－1是方程9m＋4m＝13的解 C．x＝1是方程3x－2＝3的解 D．x＝0是方程0.5(x＋3)＝1.5的解
11．设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图(1)，(2)所示，天平保持平衡．如果要使得图(3)中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为(B)
2
A．6个 二、填空题 12．若方程2x
a－2
B．5个 C．4个 D．3个
－3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝3．
13．填写下列各等式变形的依据及方法：
(1)若3x＋1＝2，则3x＝2－1，利用的是等式的基本性质1，变形的方法是等式的两边同时减1； (2)若－2x＝－6，则x＝3，利用的是等式的基本性质2，变形的方法是等式两边同时除以－2； (3)若2(x－1)＝4，则x－1＝2，利用的是等式的基本性质2，变形的方法是等式两边同时除以2．
14．将方程4x－5＝7的两边同时加上5，得4x＝12，这是根据等式的基本性质1；再将方程4x＝12的两边同时除以4，得x＝3，这是根据等式的基本性质2．
15．x＝－2和x＝3中，是方程5x－10＝5的解的是x＝3．
16．李红买了8个莲蓬，付了50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为50－8x＝38． ab
17.若＝，则a＝b.(填“＜”“＞”或“＝”)
mm
18．若x＝1是方程2ax－3bx＝10的解，则3b－2a的值为－10．
19．小青的年龄比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍．设小青今年x岁，则根据题意列方程，
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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得4x＝x＋27．
20．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定
a c
b
1
＝ad－bc，如d3
2
x －2
＝1×4－2×3.若＝－2，则x＝2． 43 －4
三、解答题
21．一个正方形花圃边长增加2 m，所得新正方形花圃的周长是28 m，则原正方形花圃的边长是多少？(只列方程) 解：设原正方形花圃的边长为x m，由题意，列方程，得4(x＋2)＝28. 22．利用等式的基本性质解下列方程： (1)8＋x＝－5；
解：方程两边同时减去8，得 x＝－13.
(2)3x－4＝11.
解：方程两边同时加4，得3x＝15. 方程两边同时除以3，得x＝5.
23．某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道应用题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40 km，摩托车的速度为45 km/h，运货汽车的速度为50 km/h，
？”请你将这道作业题补充完整，并列出方程．
解：可补充：汽车和摩托车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，问几小时相遇． 设x小时相遇，根据题意，得45x＋50x＝40.
24．已知3b－2a－1＝3a－2b，请利用等式的基本性质比较a与b的大小． 解：等式两边同时加2a＋1，得3b＝5a－2b＋1. 等式两边同时加2b，得5b＝5a＋1.
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 7
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1
等式两边同时除以5，得b＝a＋.
5所以b＞a.
25．(1)已知(m＋1)x＋2＝0是关于x的一元一次方程，求m的值； (2)已知(2m－8)x＋x
2
3n－2|m|
＝－6是关于x的一元一次方程，求m，n的值．
解：(1)根据题意，得|m|＝1，且m＋1≠0， 所以m＝1.
(2)根据题意，得2m－8＝0，3n－2＝1， 所以m＝4，n＝1.
5.2求解一元一次方程
一、选择题
1. 下列变形属于移项的是( ) A.由 2x=2,得 x=1
B.由 3x-2x=-2,得 x=-2
77C.由 3x-=0,得 3x= D.由 x-1=0,得-1+x=0
882. 已知关于 x 的方程 4x-3b=2 的解是 x=b,则 b 的值是( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
3. 若代数式 2x-1 的值为 3,则 x 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
4. 解一元一次方程 3x+7=32-2x,移项正确的是( ) A.3x+2x=32-7 B.3x+2x=32+7 C.3x-2x=32-7 D.3x-2x=32+7
5. 解方程 4x-2=3-x 的过程如下:①合并同类项,得 5x=5;②移项,得 4x+x=3+2;③系数化为 1,得 x=1.
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正确的解题顺序是( )
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.③①②
46. 小明同学在解方程 5x-1=mx+3 时,把数字m看错了,解得x=-,则该同学把 m 看成了(
)
3A.3 B.-1289 C.8 D.-8
7. 若代数式 3x-7 和 6x+13 互为相反数,则 x 的值为( )
A.
23 B.32 C.-32 D.-
23
8. 方程
2x32=9x53+1 去分母得( ) A.3(2x+3)-x=2(9x-5)+1 B.3(2x+3)-6x=2(9x-5)+6
C.3(2x+3)-x=2(9x-5)+6
D.3(2x+3)-6x=2(9x-5)+1
9. 解方程4(x-1)-x=2(x+12)的 步 骤 如 下 :① 去 括 号 , 得 4x-4-x=2x+1;② 移 项 , 得
4x+x-2x=4+1;③合并同类项,得 3x=5;④系数化为 1,得 x=53.从哪一步开始出现错误( )
A.① B.② C.③ D.④ 10. 下列方程变形中,正确的是( )
A.方程 3x-2=2x+1,移项,得 3x-2x=-1+2 B.方程 3-x=2-5(x-1),去括号,得 3-x=2-5x-1 C.方程
x13=x4-1,去分母,得 4(x+1)=3x-1 D.方程-25x=4,未知数系数化为 1,得 x=-10 11. 一元一次方程x120= 3x140的解是( ) A.x=-1
B.x=0 C.x=1 D.x=2
12. 如果 5m+114与 5(m+4) 互为相反数,那么 m 的值是(
)
A.0 B.
320 C.120 D.-320 经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 9
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13. 若代数式k13的值比3k12的值小 1,则 k 的值为( ) A.-1
B.27 C.1 D.
57
二、填空题
14. 规定一种新运算:a※b=a2+2ab,若(-2)※x=-2+x,则 x= . 15. 已知 x=2 是方程
2xa5=xa3的解,则 a 的值为 . 16. 已知关于 x 的方程3(m-34x)+32x=m与 3x-2=0 的解相同,则 m= .
17. 当 x= 时, 代数式
x13的值比x+12的值大-3. 三、解答题 18. 解方程:
(1)2x+5=25-8x; (2)8x-2=7x-2; (3)2x+3=11-6x; (4)3x-4+2x=4x-3; (5)112x-3=3x+2.
19. 当 a 为何值时,关于 x 的方程 3x+a=0 的解比方程-23x-4=0 的解大2?
答案
1.C 2.D 3.B 4.A 5. C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D 13.D 14. 6
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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15. 1 16. 14 17.
134 三、解答题
18. (1)移项,得 2x+8x=25-5,
合并同类项,得 10x=20, 系数化为 1,得 x=2. (2)移项,得 8x-7x=-2+2, 合并同类项,得 x=0. (3)移项,得 2x+6x=11-3, 合并同类项,得 8x=8, 系数化为 1,得 x=1. (4)移项,得 3x+2x-4x=-3+4, 合并同类项,得 x=1. (5)移项,得
12x-13x=2+3, 合并同类项,得
16x=5, 系数化为 1,得 x=30.
19. 解方程-23x-4=0,得 x=-6.
根据题意,得 x=-6+2=-4 为方程 3x+a=0 的解. 将 x=-4 代入 3x+a=0,得 3×(-4)+a=0, 解得 a=12.
所以当 a=12 时,关于 x 的方程 3x+a=0 的解比方程-23x-4=0 的解大 2.
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5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
1．把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形相比( ) A．面积与周长都不变化 B．面积相等但周长发生变化 C．周长相等但面积发生变化 D．面积与周长都发生变化
2．根据图中给出的信息，可得正确的方程是( )
8262
A．π×()×x＝π×()×(x＋5)
22B．π×8×x＝π×6×5
8262
C．π×()×x＝π×()×(x－5)
22D．π×8×x＝π×6×(x－5)
3．有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
4．要锻造直径为16 cm、高为5 cm的圆柱形毛坯，设需截取横截面边长为6 cm的方钢(横截面为正方形的钢材)x cm，则可得方程为 ．
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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2
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2
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5．一个长方体合金底面长为80 mm、宽为60 mm、高为100 mm，现要锻压成新的长方体合金，其底面是边长为40 mm的正方形，则新长方体合金的高为 ．
6．将一个底面半径为6 cm、高为40 cm的“瘦长”圆柱形钢材锻压成底面半径为12 cm的“矮胖”圆柱形零件毛坯，请问毛坯的高是多少？
7．在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七(1)班学生回收饮料瓶共10 kg，男生回收的重量是女生的4倍，设女生回收饮料瓶x kg，根据题意，可列方程为( )
1
A．4(10－x)＝x B．x＋x＝10
4C．4x＝10＋x D．4x＝10－x
8．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多55人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为 ．
9．李明和他父亲年龄的和为55岁，又知父亲的年龄比他年龄的3倍少1岁，求李明和他父亲的年龄分别为多少岁？
10．有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米，求每段长各多少米？
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11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？译文：一位善于织布的妇女，每天织的布都是前一天的2倍，她5天共织了5尺布，问在这5天里她每天各织布多少尺？设她第一天织布为x尺，以下列出的方程正确的是( ) A．x＋2x＝5 B．x＋2x＋4x＋6x＋8x＝5 C．x＋2x＋4x＋8x＋16x＝5 D．x＋2x＋4x＋16x＋32x＝5
12．用长为1米、直径为50毫米的圆钢可以拉成直径为1毫米的钢丝 米．
13．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9.若将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ．
14．如图，一个酒瓶的容积为500毫升，瓶子内还剩有一些黄酒．当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12厘米，倒放时，空余部分的高度为8厘米，则瓶子的底面积为 平方厘米．(1毫升＝1立方厘米)
15．用长为10 m的铁丝沿墙围成一个长方形(墙的一面为长方形的长，不用铁丝)，长方形的长比宽多1 m，求长方形的面积．
16．在一个底面直径为5 cm，高为18 cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6 cm，高为10 cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，则瓶内水还剩多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．
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17．如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则图中阴影部分的面积之和为 ．
18．我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领2
来这批书的
3
，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，
刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 15
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参考答案： 1．C 2．A 3．C
4．(1622
2)π×5＝6·x．
5．300_mm．
6．解：设毛坯的高为x cm，根据题意，得 π×62
×40＝π×122
·x. 解得x＝10.
答：毛坯的高是10 cm. 7．D
8．2x＋55＝589－x．
9．解：设李明的年龄为x岁，则他父亲的年龄为(3x－1)岁，可列方程为 3x－1＋x＝55， 解得x＝14. 则3x－1＝41.
答：李明的年龄为14岁，他父亲的年龄为41岁． 10．解：设第二段长为x米，则第一段长为(x－2)米． 根据题意，得 x＋(x－2)＝12. 解得x＝7.
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则7－2＝5.
答：第一段长为5米，第二段长为7米． 11．C 12．2_500． 13．54． 14．25．
15．解：设宽为x m，则长为(x＋1)m.根据题意，得 2x＋(x＋1)＝10. 解得x＝3. 所以x＋1＝4.
故长方形的面积为3×4＝12(m2
)． 答：长方形的面积为12 m3
16．解：设圆柱形瓶内的水倒入玻璃杯中水的高度为x cm.由题意，得 (52)2π×18＝(62)2
πx. 解得x＝12.5. 因为12.5>10， 所以不能完全装下．
设瓶内水还剩y cm高．由题意，得 (522)π×18＝(52)2πy＋(62)2
π×10. 解得y＝3.6.
答：瓶内水还剩3.6 cm高．
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17．44_cm．
18．解：设这批书共有3x本．根据题意，得 2x－40x＋40
＝.解得x＝500. 169所以3x＝1 500.
答：这批书共有1 500本．
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。
他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。
著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。
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经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 18
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