河南大学之云南大学期末考试试卷之第十五讲

§4.4 行列式按一行（列）展开

定义 在n阶行列式

a11a1ja1nD = ai1aijain

an1anjann

中，划去元素aij所在的第i行和第j列，由剩余的

(n1)2个元素按原来的排法构成一个n -1阶的行列

式

a11a1,j1a1,j1a1nai1,1ai1,j1ai1,j1ai1,nai1,1ai1,j1ai1,j1ai1,nan1

an,j1an,j1ann被称为元素 aij的余子式，记为 Mij；(1)ijMij被称为元素 aij的代数余子式，记为 Aij。

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例 求行列式

123D = 051

107

的代数余子式A11,A12和A13。

解

123051， 107123051： 107

M115107011735

A11(1)11M1135M121，

A12(1)12M121123107

05M13510051：

A13(1)13，

M135定理 n阶行列式

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a11a21D =



a1na22a2n

a12an1an2ann等于它的任意一行的所有元素与它们各自的代数

余子式的乘积之和，即

Dai1Ai1ai2Ai2ainAinaikAik

k1

n i1, 2, , n

上式称为行列式按第i行展开。

例 计算行列式

123D = 051

107

解 对 D按第一行展开，即得

Da11A11a12A12a13A13

135213(5)22

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例 计算行列式

a1bbbDbabb42bba

3bbbba4解

a1bbbDba42bbbba

3bb0b0b0b(a4b)a1bbba1bbbba2bbba2bbbba3bbba3bbbbb000a4b

a1b00000a1b0a2b00a(a4b)ba23b0bbbbbb

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bba3

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 (a1b)(a2b)(a3b)b(a4b)D3

递归地可得

(a1b)(a2b)b(a3b)D2 D3

(a1b)b(a2b)D1D2 (a1b)b(a2b)b(a1b)(a2b)

于是

(a1b)(a2b)(a3b)b(a1b)(a2b)(a4b)bD4 (a1b)(a3b)(a4b)b(a2b)(a3b)(a4b)b (a1b)(a2b)(a3b)(a4b)

上例中使用的方法是否可用于计算n阶行列式

a1bbba2bbba3Dnbbbbbb ？ an

例 证明n阶Vandermonde行列式的恒等式：

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1a12 a1

1a22a21a32a31an2an(aiaj)

1jinn1n1n1n1a1a2a3an证明 对n作数学归纳法：

11a2a1(aiaj)， 对 n2, a1a21ji2

恒等式成立；

设恒等式对n1阶成立，即

1a12a1n2a1

1a22a21(aiaj)

an12an11jin1n2n2a2an1

下面证明恒等式对 n阶Vandermonde行列式

也成立：

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1a12a13a1n2a1n1a11a22a23a2n2a2n1a211an12an13an1n2an1n1an111Rn(an)Rn1Rn1(an)Rn2an 2R3(an)R2anR2(an)R13 ann2ann1an1an1an

100002a1a1an32a1a1ana1an2a2a2an32a2a2ana2an2an1an1an32ana1n1ann1n2a1a1ann1n2a2a2ann1n2an1an1an(1)n1a1ana1(a1an)2a1(a1an)a2ana2(a2an)2a2(a2an)an1anan1(an1an)2an1(an1an)n2n2n2a1(a1an)a2(a2an)an1(an1an)

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1a1n12(1)(a1an)(an1an)a1n2a11a22a21an12an1

n2n2a2an1(1)n1(1)n1(ana1)(anan1)1jin1(aiaj)



1jin(aiaj)

例 已知分块矩阵

AAC1 P，QC20B

0 B这里，子块 A和 B均是方阵，则

|P|AC10A|A||B|， |Q|C2B0|A||B| B

定理 设A、B是n阶方阵，则

|AB||A||B|

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例 设A是n阶方阵，AAI且 |A|1，求|AI|。

T 解 |AI||AAA||(IA)A|

TT |IA||A||IA|

TTT|(IA)||IA|T

由此得

2|AI|0

于是，|AI|0

行列式计算的常用方法：

（1）对角线算法；

（2）利用性质；

（3）变形为三角形行列式；

（4）降低行列式的阶数；

（5）利用与矩阵的关系。

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定理 n阶行列式

a11ai1aj1

a12ai2a1nain

aj2ajnan1an2ann的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积

之和等于零，即

ai1Aj1ai2Aj2ainAjnaikAjk0

k1

n i,j1, 2, , n (ij)

例 已知四阶行列式

1234234133334123恭祝各位考生金榜题名！

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求 A21A22A23A24。

§4.5 行列式的应用

一、求解线性方程组（Cramer法则）

定理（Cramer法则）如果线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 an1x1an2x2annxnbn 的系数行列式

a11a21D =



a1na22a2n0

a12an1an2ann那么该方程组有唯一解：

xj

DjD (j1,2,,n)

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其中

a11a1,j1b1a21a2,j1b2Djan1an,j1bna1,j1a1na2,j1a2n

an,j1ann

推论 若齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0 a21x1a22x2a2nxn0

an1x1an2x2annxn0

有非零解，则它的系数行列式 D0。

例 已知齐次线性方程组

ax1x2x30xx0 1ax23x1x2ax30

有非零解，求a 。

解 因为有非零解，所以由推论得：所给齐次

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方程组的系数行列式等于零，即

a111a1(a2)(a1)20 11a

于是 a2 或 a1。

例 对于方程组

ax1x2x31x1ax2x3a x1x2ax3a2

试讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？

解 方程组的系数行列式

a11D1a1(a2)(a1)2

11a

情况1：a2且 a1

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因 D0，故方程组有唯一解。

情况2：a2

因

211111 A~12122行0331124000r(A)r(A~)，此时方程组无解。

情况3：a1

因

A~111111111111行0000

11110000

r(A)r(A~)13，此时方程组有无穷多个解。

例 (08, 12分)设n元线性方程组Axb,其中

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493

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2a10a22a122a0aA0000000000000000,

2a102a2a10a22ann00x11x02, b. x0xn(1) 证明行列式A(n1)a;

(2) 当a为何值时, 该方程组有唯一解, 并求x1;

(3) 当a为何值时, 该方程组有无穷多解, 并求通解。

二、 方阵可逆的条件

定义 设A[aij]nn是n阶方阵，Aij是A中元素aij的代数余子式(i,j1,2,,n)。称n阶方阵

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A11A21An1AA1222An2 A1nA2nAnn

为A的伴随矩阵，记为 A* 。

例 已知

Aabcd 则

A*dbca

性质 设A是方阵，则

AA*A*A|A|I

定理 方阵A可逆的充分必要条件是当 A可逆时

A11|A|A*

其中 A*为 A的伴随矩阵。

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A|0； |北京理工大学系列考试试卷

例 已知

ab Acd

且 adbc，则 A可逆，且

A11db adbcca

三、矩阵的秩

定理 设A为n阶方阵，则 A满秩的充要条件是 |A|0。

定义 设矩阵A[aij]mn，任取A的k个行（第

i1,i2,,ik行）和

k个列（第j1,j2,,jk列）的交叉点

上的k2个元素，并按原来顺序排列成的k阶行列式

ai1j1Mai2j1aikj1

ai1j2ai2j2aikj2ai1jkai2jkaikjk

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称为 A的一个k阶子式；特别地，当i1j1,,ikjk时，称 M为 A的一个k阶主子式。

注意与余子式、代数余子式的区分！

定理 设矩阵A[aij]mn，则 秩(A) = r的充要条件是 A有一个 r阶子式不为零，且所有r+1阶子式（若有的话）全为零。

例 设4阶方阵 A的秩为2，求伴随矩阵A*的秩。

解 因为 A的秩为2，故A存在不等于零的2阶子式，但全部3阶和4阶子式均等于零。

又A的每个元素的余子式是A的某个3阶子式，所以 A的所有元素的代数余子式均为零。于是，A* = 0，即 A*的秩为零。

小 结

（1）熟练掌握3阶、4阶及简单的n阶行列式

的计算；

（2）会使用Cramer法则求解方程组；

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（3）掌握伴随矩阵的概念、性质； （4）掌握矩阵可逆的充分必要条件； （5）掌握行列式与矩阵的关系。

例 已知4阶方阵

a11a12a21a22 Aa31a32a41a42

a13a14a23a24

a33a34a43a44可逆，求下列齐次线性方程组

a21x1a22x2a23x3a24x40 a31x1a32x2a33x3a34x40

axaxaxax0411422433444

的一般解。

解 设Aij分别表示元素aij的代数余子式

(i,j1,2,3,4)。

令 x1A11,x2A12,x3A13,x4A14，代入方程

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组。由行列式的性质得，(A11,A12,A13,A14)恰为方程

组的一个解。

因 A可逆，故

|A|a11A11a12A12a13A13a14A140

所以 A11,A12,A13,A14不全为零，即 (A11,A12,A13,A14)

是方程组的一个非零解。

所给方程组的系数矩阵

a21a22Ba31a32a41a42

a23a33a43a24a34 a44的每个3阶子式都是 A的第一行某一元素的余子

式，而已得 A11,A12,A13,A14不全为零，故矩阵B至少

有一个3阶子式不等于零，所以B的秩为3。由此

得所给齐次方程组的基础解系只含一个解，于是非

零解 (A11,A12,A13,A14)就是一个基础解系。

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因此，所求一般解为 k(A11,A12,A13,A14)，这里k是任意常数。

例 设 A为n阶方阵，且 秩(A) = n –1，则

秩(A*) = 1。

证明 因 秩(A) = n –1，故 A不满秩，所以

|A| = 0。由此得

AA*|A|I0I0

于是

秩(A) +秩(A*) ≤ n 从而

秩(A*) ≤ n -秩(A) = n –(n –1) = 1

又因 秩(A) = n –1，故 A至少有一个 n1 阶子式不等于零。而 A的每个 n –1阶子式都是 A

的某一元素的余子式，所以 A至少有一个元素的代

数余子式不等于零，由此可知 A*0。所以又有

秩(A*)≥1。

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综上所述，可得 秩(A*) = 1。

**例 (09, 4分) 设A和B都是2阶矩阵，A和B分别

0B的伴随矩阵。为A，若A2,B3，则BA（）。 0*

03B*（A） *. （B）

02A02B**.

03A02A**.

03B

03A*（C） *. （D）

02B

作业：1）预习

2）习题

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