2021-2022学年湖南省永州市双牌县八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年湖南省永州市双牌县八年级（上）期末数

学试卷

1. 下列代数式中，是分式的为( )

A. 𝜋

3

B. 3

𝜋

C. 𝑥𝑥

2

D. 2+1

𝑥

2. 下列计算正确的是( )

A. 3√−8=−2

2022

B. √4=±2 C. 𝑎6÷𝑎3=𝑎2 D. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6

3. 若分式𝑥−3有意义，则𝑥的取值范围是( )

A. 𝑥<3 B. 𝑥=3 C. 𝑥>3 D. 𝑥≠3

4. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )

A.

B.

C.

D.

5. 在0，7，−0.101001，𝜋，3√8中无理数的个数是( )

22

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

6. 下列语句是命题的是( )

(1)两点之间，线段最短； (2)对顶角相等；

(3)请画出两条互相平行的直线； (4)过直线外一点作已知直线的垂线．

A. (1)(2) B. (3)(4) C. (2)(3) D. (1)(4)

𝐷是𝐵𝐶延长线上一点，∠𝐵=30°，∠𝐴𝐶𝐷=110°，7. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，则∠𝐴等于( )

A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°

8. 关于𝑥的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为( )

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A. 𝑥<2 B. 𝑥≤2 C. 𝑥>2 D. 𝑥≥2

9. 等腰三角形的两边长分别为2𝑐𝑚和5𝑐𝑚，则该等腰三角形的周长是( )

A. 7𝑐𝑚 B. 9𝑐𝑚 C. 12𝑐𝑚 D. 9𝑐𝑚或12𝑐𝑚

10. 先阅读下面例题的解答过程，然后作答．

例题：化简√8+2√15． 解：先观察8+2√15，

由于8=5+3，即8=(√5)2+(√3)2， 且15=5×3，即2√15=2×√5×√3， 则有√8+2√15=√(√5+√3)2=√5+√3． 试用上述例题的方法化简：√15+4√14=( )

A. √2+√13

11. 当𝑥______时，分式

B. 2+√11

𝑥2−1𝑥−1

C. 1+√14 D. √7+2√2

值为0．

12. 世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004𝑚，用科学记数法表示它的长度是

______米．

13. 4是______的算术平方根．

14. 要使√𝑥−3有意义，则𝑥的取值范围是______． 15. 比较大小：6√3 ______7√2(填>，<，=)．

△𝐴𝐵𝐶的周长为22𝑐𝑚，𝐴𝐶的垂直平分线𝐷𝐸分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶16. 如图，

于𝐷、𝐸，且𝐴𝐸=4𝑐𝑚，则△𝐴𝐵𝐷的周长为______𝑐𝑚． 𝑏为实数，17. 若𝑎，且𝑎=√𝑏−2−√2−𝑏+1，则𝑎𝑏的值为______． 18. 若|2021−𝑎|+√𝑎−2022=𝑎，则𝑎−20212=______． 19. 计算：−12×(𝜋−2022)0×(−2)−2．

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1

20. 解分式方程：𝑥−2=𝑥．

𝑥+1≥0

21. 解不等式组：{．

10−2𝑥>0

22. 先化简，再求值：(1−)÷𝑥−1

代入求值．

23. 如图所示，𝐶𝐷=𝐶𝐴，∠1=∠2，𝐸𝐶=𝐵𝐶，求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶．

1

𝑥2−4𝑥+2

12

，其中1≤𝑥≤3的正整数，选一个合适的𝑥的值

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24. 已知实数𝑥，𝑦满足√𝑥−2+(𝑦2−1)2=0，试判断𝑥√𝑦+3是有理数还是无理数．

25. 某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、

乙两型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人(不含司机)和10件行礼，乙种汽车每辆最多能载30人(不含司机)和20件行礼．设租用甲种汽车𝑥辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案．

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26. 如图△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=60°，∠𝐶=40°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线

𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐷．

(1)求证：△𝐵𝐶𝐷为等腰三角形．

(2)若∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐸交边𝐵𝐶于点𝐸，证明：𝐵𝐷+𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐸．

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答案和解析

1.【答案】𝐶

【解析】解：上列代数式中，是分式的为：，

𝑥𝑥2

故选：𝐶．

根据分式的定义，形如𝐵，𝐵中含有字母且𝐵≠0，判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．

𝐴

2.【答案】𝐴

【解析】解：𝐴、3√−8=−2，故A符合题意； B、√4=2，故B不符合题意； C、𝑎6÷𝑎3=𝑎3，故C不符合题意； D、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故D不符合题意； 故选：𝐴．

利用立方根的化简，二次根式的化简，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查立方根，算术平方根，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】𝐷

【解析】解：由题意可知：𝑥−3≠0， ∴𝑥≠3， 故选：𝐷．

根据分式有意义的条件即可求出答案．

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．

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4.【答案】𝐶

【解析】 【分析】

此题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义．

三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，即可得到答案． 【解答】

解：三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：𝐶．

5.【答案】𝐴

【解析】解：0是整数，属于有理数；

227

是分数，属于有理数；

−0.101001是有限小数，属于有理数；

3

√8=2是整数，属于有理数；

𝜋是无理数，无理数共有1个． 故选：𝐴．

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：𝜋，2𝜋等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

6.【答案】𝐴

【解析】解：(1)两点之间，线段最短，是命题； (2)对顶角相等，是命题；

(3)请画出两条互相平行的直线，没有对事件作出判断，不是命题； (4)过直线外一点作已知直线的垂线，没有对事件作出判断，不是命题； 故选：𝐴．

根据命题的概念判断即可．

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本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．

7.【答案】𝐶

【解析】解：∵∠𝐵=30°，∠𝐴𝐶𝐷=110°，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角， ∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐵=80°， 故选：𝐶．

直接利用三角形的外角性质进行求解即可．

本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．

8.【答案】𝐵

【解析】解：观察数轴可得该不等式的解集为𝑥≤2． 故选：𝐵．

观察数轴得到不等式的解集都在2的左侧包括2，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为𝑥≤2．

本题考查了在数轴表示不等式的解集，运用数形结合的思想是解答此题的关键．

9.【答案】𝐶

【解析】解：当腰长是2𝑐𝑚时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，舍去； 当腰长是5𝑐𝑚时，因为2+5>5，符合三角形三边关系，此时周长是12𝑐𝑚． 故选：𝐶．

题目给出等腰三角形有两条边长为2𝑐𝑚和5𝑐𝑚，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

10.【答案】𝐷

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【解析】解：√15+4√14=√(√7)2+4√14+(2√2)2=√(√7+2√2)2=√7+2√2； 故选：𝐷．

先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简．

本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质，先把被开方数拆项，化为完全平方的形式是解题关键．

11.【答案】=−1

【解析】解：根据题意得：𝑥2−1=0，且𝑥−1≠0 解得：𝑥=−1 故答案是：=−1

根据分式的值为零的条件可以求出𝑥的值．

本题主要考查了分式值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

12.【答案】4×10−8

【解析】解：0.00000004𝑚=4×10−8𝑚. 故答案为：4×10−8．

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，𝑛是正整数；当原数的绝对值<1时，𝑛是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，表示时关键要确定𝑎的值以及𝑛的值．

13.【答案】16

【解析】解：∵42=16， ∴4是16的算术平方根． 故答案为：16．

如果一个非负数𝑥的平方等于𝑎，那么𝑥是𝑎的算术平方根，由此即可求出结果．

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此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．

14.【答案】𝑥≥3

【解析】解：根据题意得：𝑥−3≥0， 解得：𝑥≥3； 故答案是：𝑥≥3．

根据二次根式的性质知，被开方数大于或等于0，据此可以求出𝑥的范围．

考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√𝑎(𝑎≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

15.【答案】>

【解析】解：(6√3)2=108，(7√2)2=98， ∵108>98， ∴6√3>7√2． 故答案为：>．

先比较两数的平方的大小，然后即可作出判断．

本题考查实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．

16.【答案】14

【解析】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，𝐴𝐸=4𝑐𝑚， ∴𝐷𝐴=𝐷𝐶，𝐴𝐶=2𝐴𝐸=8(𝑐𝑚)， ∵△𝐴𝐵𝐶的周长为22𝑐𝑚， ∴𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=22𝑐𝑚， ∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=14𝑐𝑚，

∴△𝐴𝐵𝐷的周长=𝐴𝐵+𝐵𝐷+𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=14(𝑐𝑚)， 故答案为：14．

根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐴=𝐷𝐶，𝐴𝐶=2𝐴𝐸=8𝑐𝑚，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

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点的距离相等是解题的关键．

17.【答案】1

【解析】解：由题意可知：𝑏−2≥0，2−𝑏≥0， ∴𝑏≥2，𝑏≤2， ∴𝑏=2，

∴𝑎=0+0+1=1， ∴𝑎𝑏 =12 =1， 故答案为：1．

根据二次根式有意义的条件可求出𝑎与𝑏的值，然后代入所求式子即可求出答案． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

18.【答案】2022

【解析】解：∵|2021−𝑎|+√𝑎−2022=𝑎， ∴𝑎≥2022，

∴𝑎−2021+√𝑎−2022=𝑎， ∴√𝑎−2022=2021， ∴𝑎−2022=20212，

∴𝑎−20212=𝑎−𝑎+2022=2022． 故答案为：2022．

根据二次根式有意义的条件可得𝑎的值，然后进行式子的变形可得20212，再代入计算即可．

此题考查的是二次根式有意义的条件、求代数式的值，掌握二次根式有意义的条件得到𝑎的取值范围是解决此题关键．

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19.【答案】解：原式=−1×1×4

=−4．

【解析】直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．

此题主要考查了有理数的乘方运算、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

20.【答案】解：𝑥−2=𝑥，

𝑥=2(𝑥−2)， 解得：𝑥=4，

检验：当𝑥=4时，𝑥(𝑥−2)≠0， ∴𝑥=4是原方程的根．

【解析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答． 本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

12

21.【答案】解：由𝑥+1≥0，得：𝑥≥−1，

由10−2𝑥>0，得：𝑥<5， 则不等式组的解集为−1≤𝑥<5．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

22.【答案】解：原式=(𝑥−1−𝑥−1)⋅(𝑥+2)(𝑥−2)

=

𝑥−1−1𝑥−1𝑥−2

𝑥−11𝑥+2

⋅𝑥−2

1

1

=𝑥−1⋅𝑥−2 =𝑥−1，

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1

∵𝑥−1≠0，(𝑥+2)(𝑥−2)≠0， ∴𝑥≠1且𝑥≠±2，

又∵𝑥是1≤𝑥≤3的正整数， ∴𝑥=3， ∴原式=3−1=2．

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再根据分式有意义的条件选取合适的𝑥的值，代入求值即可．

本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件(分母不能为零)，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．

1

1

23.【答案】证明：∵∠1=∠2，

∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸， 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，

𝐶𝐴=𝐶𝐷

{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸, 𝐵𝐶=𝐸𝐶

∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)．

【解析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，再根据𝑆𝐴𝑆可证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶．

𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：𝐴𝐴𝑆、𝐻𝐿．

24.【答案】解：由题意得：

𝑥−2=0，𝑦2−1=0， ∴𝑥=2，𝑦=±1，

2当𝑥=2，𝑦=1时，𝑥√𝑦+3=√4=2，是有理数； 2当𝑥=2，𝑦=−1时，𝑥√𝑦+3=√2=√2，是无理数．

【解析】根据偶次方和算术平方根的非负性求出𝑥，𝑦的值，然后代入式子中进行计算即可解答．

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本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，无理数，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题的关键．

25.【答案】解：(1)由租用甲种汽车𝑥辆，则租用乙种汽车(8−𝑥)辆．

40𝑥+30(8−𝑥)≥290

由题意得：{ 10𝑥+20(8−𝑥)≥100解得：5≤𝑥≤6． 即共有2种租车方案：

第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．

【解析】设租用甲种汽车𝑥辆，则租用乙种汽车(8−𝑥)辆，根据有290名老师和100件行李，以及甲种汽车每辆最多能载40人(不含司机)和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人(不含司机)和20件行李可列方程求解．

本题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据人数和行李数作为不等量关系列不等式组求解．

26.【答案】证明：(1)∵∠𝐵𝐴𝐶=60°，∠𝐶=40°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=80°， ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=40°， ∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，

∴△𝐵𝐶𝐷是等腰三角形；

(2)如图，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐸，交𝐴𝐸的延长线于点𝐹，交𝐴𝐵的延长线于点𝐻，连接𝐸𝐻，

∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸，

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在△𝐴𝐹𝐶和△𝐴𝐹𝐻中， ∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹{𝐴𝐹=𝐴𝐹， ∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐴𝐹𝐻=90°∴△𝐴𝐹𝐶≌△𝐴𝐹𝐵(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐻，𝐻𝐹=𝐶𝐹， ∴𝐴𝐹是𝐶𝐻的垂直平分线， ∴𝐸𝐻=𝐸𝐶， ∴∠𝐸𝐶𝐻=∠𝐸𝐻𝐶， ∵𝐴𝐻=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐻𝐶=∠𝐴𝐶𝐻， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐻𝐸=40°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=80°=∠𝐴𝐻𝐸+∠𝐵𝐸𝐻， ∴∠𝐵𝐸𝐻=40°=∠𝐴𝐻𝐸， ∴𝐵𝐻=𝐵𝐸，

∴𝐴𝐵+𝐵𝐸=𝐴𝐻=𝐴𝐶=𝐴𝐷+𝐶𝐷=𝐴𝐷+𝐵𝐷， 即𝐵𝐷+𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐸．

【解析】(1)由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，可得结论； (2)由“𝐴𝑆𝐴”可证△𝐴𝐹𝐶≌△𝐴𝐹𝐵，可得𝐴𝐶=𝐴𝐻，𝐻𝐹=𝐶𝐹，由等腰三角形的判定可证𝐵𝐻=𝐵𝐸，可得结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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