孟州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（ ） A．﹣7 2． P是双曲线

B．﹣1

C．﹣1或﹣7

D．

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2

C．c

的内切圆圆心的横坐标为（ ） A．a

B．b

D．a+b﹣c

3． 设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ） A．p或q

B．p且q

C．￢p或q

D．p且￢q

4． 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

D1 C1 A1 B1 P D C A B A.直线 B.圆

2 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.

5． 已知抛物线C：y4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15) 6． 已知函数f（x）=Asin（ωx﹣

）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG是边长为2 的等边三角

形，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（ ）

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A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移

7． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

，

），则f（2）的值为（ ）

个长度单位 D．向右平移

个长度单位

8． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1

9． 满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是（ ）

xx2xA.f(e)|x| B.f(e)e C.f(lnx)lnx2 D.f(lnx)x1 x【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 10．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（ ） A．{1，2，3} A．M∪N

B．{1，3，5}

C．{1，4，5}

D．{2，3，4}

11．已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ）

B．M∩N C．∁IM∪∁IN

D．∁IM∩∁IN

ab

是5与5的等比中项，则+的最小值为（ ）

12．设a＞0，b＞0，若A．8

B．4

C．1

D．

二、填空题

13．若

14．已知tan()3，tan(15．若全集

，集合

的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．

4)2，那么tan . ，则

。 16．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁UA）∪B= ． 17．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ． 18．若命题“∀x∈R，|x﹣2|＞kx+1”为真，则k的取值范围是 ．

三、解答题

19．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

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（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：（Ⅲ）当

20．（本小题12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF平面

为定值．

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

ABCD，BG平面ABCD，且AB2BG4BH．

（1）求证：平面AGH平面EFG； （2）若a4，求三棱锥GADE的体积．

【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．

21．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a，b的值；

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（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．

22．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

23．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y 轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0. 33，求AOB面积的最大值. 2第 4 页，共 17 页

【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,22,，求实数m的值； （2）若不等式f(x)2y12a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． 2y【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

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孟州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行． 所以故选：A．

，解得m=﹣7．

【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．

2． 【答案】A 【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q， 则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同． 由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a． ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，

∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a． 故选A．

由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．

3． 【答案】 C

【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中

命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l， 显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确； 命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β， 直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，

显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；

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故选C．

【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

4． 【答案】D.

第Ⅱ卷（共110分）

5． 【答案】D 【解析】

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考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 6． 【答案】 A

【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形， ∴三角形的高为

，即A=

， =4，

函数的周期T=2FG=4，即T=解得ω=

=

，

sin（x﹣

x﹣）=

），g（x）=sin[

sin

x，

即f（x）=Asinωx=由于f（x）=

sin（

（x﹣）]，

故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位． 故选：A．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．

7． 【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，

α

）代入可得=

α

，

∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

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故选：A．

8． 【答案】D

2

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

×4πR2=

．

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．

9． 【答案】D. 【

解

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

析】

10．【答案】B

【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B

11．【答案】D

【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M∪N={1，2，3，6，7，8}， M∩N={3}；

∁IM∪∁IN={1，2，4，5，6，7，8}；

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∁IM∩∁IN={2，7，8}， 故选：D．

12．【答案】B 【解析】解：∵

ab

∴5•5=（

ab

是5与5的等比中项， 2

）=5，

即5a+b=5， 则a+b=1， 则

+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2

=2+2=4，

当且仅当=，即a=b=时，取等号， 即

+的最小值为4，

故选：B

【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．

二、填空题

13．【答案】5 【解析】解：由题意令

=0，得n=

rn﹣r

的展开式的项为Tr+1=Cn（x6）（

r

）=Cnr

=Cnr

，当r=4时，n 取到最小值5

故答案为：5．

【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．

14．【答案】【解析】

试题分析：由tan(4 34)1tan1tan()tan2得tan， tantan[()]

1tan31tan()tan134． 131333考点：两角和与差的正切公式．

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15．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵

，∴

{|0＜＜1｝。

16．【答案】 {2，3，4} ．

【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴CUA={3，4}， 又B={2，3}，

∴（CUA）∪B={2，3，4}， 故答案为：{2，3，4}

17．【答案】 84 ．

29

【解析】解：（x﹣）的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

•（﹣1）r•x18﹣3r，

令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7=故答案为：84．

==84，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

18．【答案】 [﹣1，﹣） ．

【解析】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣1，﹣）．

故答案为：[﹣1，﹣）．

【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为

（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4． ∴

，2a=4，解得a=2，c=1．

222

∴b=a﹣c=3．

∴椭圆C的标准方程为．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

222

∴|OP|=x+y=2

，同理可得|OQ|=

，

=

为定值．

∴=+

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立． 因此（III）当

=

为定值． =

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

=

=

=

，满足条件．

222∴|OP|=x+y=

，

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2

同理可得|OQ|=

，

=

+

=

．

∴

2

化为（kk′）=1，

∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1． 因此OP⊥OQ不一定成立．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．【答案】

【解析】（1）连接FH，由题意，知CDBC，CDCF，∴CD平面BCFG． 又∵GH平面BCFG，∴CDGH．

又∵EFCD，∴EFGH……………………………2分

1315a，CHa，BGa，∴GH2BG2BH2a2， 442165252FG2(CFBG)2BC2a2，FH2CF2CH2a，

416222则FHFGGH，∴GHFG．……………………………4分

由题意，得BH又∵EFFGF，GH平面EFG．……………………………5分

∵GH平面AGH，∴平面AGH平面EFG．……………………………6分

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21．【答案】

32

【解析】解：（1）∵f（x）=x+3ax+bx， 2

∴f'（x）=3x+6ax+b，

又∵f（x）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0， 解得：a=，b=1 经检验，合题意．

2

（2）由（1）得f'（x）=3x+4x+1，

令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1， 又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．

22．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•=（=

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1）， =0，所以DF⊥AE； ，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣

，

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（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

．

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））． 由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）， ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．

23．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y) 3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

131x2y21 ∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即

33第 15 页，共 17 页

x2y21 …………4分 ∴曲线C的方程为3

24．【答案】

【解析】（1）由题意，知不等式|2x|2m1(m0)解集为,22,．

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11xm，……………………2分 2213所以，由m2，解得m．……………………4分

22aayy（2）不等式f(x)2y|2x3|等价于|2x1||2x3|2y，

22ay由题意知(|2x1||2x3|)max2y．……………………6分

2由|2x|2m1，得m

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