半导体激光器速率方程

第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型

2.1 光反馈半导体激光器

光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi方程

[29]

，并分析了振荡条件。为

方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。

表2-1 激光器参量的意义

符号

物理量 电量 有源区体积 载流子寿命 光子寿命 限制因子 阈值载流子密度 透明载流子密度 增益饱和系数 线宽增强因子 微分增益 自发辐射因子 端面强度反射率 波长

表2-2 参量之间的关系

Table 2-2 Relationships of parameters

单位 C m3 ns ps --- m-3 m-3 m3 --- m3s-1 --- --- nm

损耗 寿命 增益 阈值 2.1.1 光反馈半导体激光器速率方程 图2-1 光反馈Fabry-Perot谐振腔示意图

图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为R1、R2，腔长为L，外

部反射镜的反射率为Re、距离为Lec/2，为激光在外腔中环行一次的时间。E、E分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。

激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。激光在腔内环行一次的增

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益为

GrR1R2exp(i2kL(Γgint)L) (2-1)

将其变为指数形式，上式可变为

Grexp(i2kLΓ(gmint)L) (2-2)

其中kn/c为波数。实际上，激光器有源区内载流子密度N(t)随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。因此将波数在无光反馈阈值点(nth,th)展开

nnnthththn(NNth)g(th) (2-3) cccNc其中，ngnthn为介质的群折射率。将(2-3)式代入(2-2)中，并将Gr分解成GrG1G，其中：

频率无关项

G1exp[Γ(gmint)L]exp(i(2thL/c)频率相关项

n(NNth)) (2-4) NGexp[i由于

2nththL2ngLi(th)] (2-5) cc2nththLd是2的整数倍，并且角频率为的单色波电场满足关系式i，G可cdtd) (2-6) dt改写为算子

Gexp(ithL)exp(L由于激光器振荡频率在阈值附近，即th，因此对时变复电场e(t)可引入慢变化复电场振幅E(t)|E(t)|exp(iΦ(t))，即

e(t)E(t)exp(itht) (2-7)

其中

dth。 dt考虑zL处的前向行波的时变复电场e(t)，对于环形增益Gr应满足

e(tL)G1G[e(tL)eext(tL)] (2-8)

1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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实际上，算子exp(Ld)是将被作用的函数时延L，因此结合(2-6)、(2-7)和(2-8)式，dt可得复电场的差分方程

E(tL)G1[E(t)/R2]G1[E(t)Eext(t)] (2-9)

其中，Eext(t)为进入谐振腔的反馈电场复振幅。由于光子在谐振腔内环行一次的时间很短(约7ps),慢变化振幅E(t)在一次环行内的变化很小，所以差分方程(2-9)可以近似为一阶微分方程

dE(t)11(G11)E(t)G1Eext(t) (2-10) dtLL上式表明，激光腔内端面R2,即zL处的负向电场复振幅E(t)是正向电场复振幅的反射部分与反馈电场复振幅的总和。考虑反射镜的无限次反射，以及谐振腔外端面反射的半波损失，即zL处的外端面的反射率为R2，反馈电场复振幅为

E(t)(1R2)Re/R2(R2Re)n1E(tn)exp(ithn) (2-11)

extn1对于弱光反馈情况，即外部反射镜的反射率相对于激光器端面反射率较小时，可以只考虑单次反射，此时即可称为反馈延迟时间。忽略(2-11)中的高次项即可得到弱反馈电场复振幅，代入(2-10)，同时考虑激光振荡时G111, (G11)lnG1，并结合ggN(NN0)以及光子寿命与损耗的关系Pvg(mint)，即可得到光反馈半导体激光器的电场速率方程，即Lang-Kobayashi方程：

dE11(1i)[ΓGN(NN0)]EE(t)exp(ith) (2-12) dt2PL其中，(1R2)Re/R2，为反馈强度参量，表示反馈光与输出端面处内反射光的电场1幅度之比，/L称为反馈速率，单位是s，GNvggN为微分增益。

2n/NcΓg/N (2-13)

是半导体激光器的线宽增强因子，其典型值在37之间。折射率和增益分别关联着激光相

位和强度，即表示载流子变化导致的激光相位变化和强度变化的耦合，其表现为线宽极

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限的(1)倍加宽。

22.1.2 速率方程的调整及方程的参量

为方便计算，Lang-Kobayashi方程描述的复电场速率方程可以分离成光子密度速率方程和相位速率方程。考虑到自发辐射、增益饱和等实际因素，载流子密度、光子密度以及相位的速率方程如下：

dNING(N,S)SF(t) (2-14)

NdteVNdSdtNSG(N,S)S2NPLS(t)S(t)cos((t))Fs(t) (2-15)

dΦ11κS(tτ)α[ΓG(N,S)]sin(θ(t))FΦ(t) (2-16) dt2τPτLS(t)其中(t)th(t)(t)表示反馈引入的相对相位。

上述完整的速率方程是对(2-12)式做了以下调整： 1. 自发辐射

载流子自发辐射产生随机相位随机频率的光子，但是总有一部分是与激光振荡模式相同，即自发辐射也对振荡模式有贡献。表现在两方面：其一，自发辐射进入振荡模式的光子的平均效果增加了光子数，则光子密度速率方程应增加右面第一项N/N，其中为自发辐射系数；其二，自发辐射的光子的数量、相位的随机性引入了噪声。若要研究光谱特性、噪声特性等，自发辐射噪声是必须考虑的，三个速率方程的最后一项即表示自发辐射噪声引起的变化速率。FN(t)、FS(t)、F(t)称为Langevin噪声项，详见附录1。

FN(t)2S(ti)N(t)NtxS2N(ti)NVtxN (2-17)

FS2S(ti)ΓN(t)xs (2-18)

Nt1S(ti)ΓN(t)x (2-19)

S(t)2NtF2. 非线性增益

对于高光子密度，即激光输出功率较大时，激光器实际上表现出增益饱和现象。因此对速率方程引入非线性增益

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G(N,S)GN(NN0) (2-20)

(1S)其中为增益饱和系数。

2.1.3 阈值及单纵模振荡条件

图2-2 光反馈的等效复合谐振腔

图2-1所示的光反馈半导体激光器可等价于一个图2-2所示的复合谐振腔。利用行波放大模型，可得复合腔的振荡条件：

R1reffexp(i2kL(Γgcint)L)1 (2-21)

其中，reff为zL处端面的有效幅度反射率，包含了激光器输出端面强度反射率R2、外部反射镜强度反射率Re和反馈光的相位延迟效应，gc为复合腔的增益。

在不考虑强反馈情况下，只考虑外部反射镜的单次反射，由忽略高次项的(2-11)式，可得有效振幅反射率的表达式：

reffR2(1ei) (2-22)

由振荡条件式(2-21)并与无反馈半导体激光器谐振腔的振荡条件式相比，复合腔的谐振条件可表示为：

gc,thgthcos(2) (2-23)

L2L(th)12sin(2arctan)0 (2-24)

其中，gth、th分别是无反馈时半导体激光器的阈值增益和振荡频率，为线宽增强因子。

gc,th表示复合腔的阈值增益，它表示光反馈引起的腔内增益的频率分布。表示复

合腔内往返相位变化较LD腔内的往返相位变化发生的偏移，它是由有源区折射率和振荡频率的变化以及反馈光引入的相位延迟等因素造成的。因为要满足振荡的相位条件，此偏移量必须为零，即0的解为振荡的模式频率。振荡模式对应的阈值增益可由(2-23)式得出。

令反馈系数C12/L，若满足1Ccos(2arctan)0，则

d0，即是频率的单调递增函数，故0只有一个解。因此，光反馈半导体激d1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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光器单纵模输出的必要条件是：反馈光的强度和相位应满足

1Ccos(2arctan)0 (2-25)

显然对于满足C1的光反馈，无论反馈相位(或反馈时间)如何，激光器总能输出稳定的单模振荡。

图2-3 无反馈、C<1、C>1时(a)相移和(b)归一化增益差与频率的关系(参量值为

5.5,R20.3,L7ps,0.5ns)

图2-3(a)给出了无光反馈、C1、C1三种情况的相移与频率差(th)的关系，的曲线与横轴的交点对应于激光器的振荡模式；图2-3(b)是对应的阈值增益。如图可知，C1时只有一个模式振荡，且其频率偏离无反馈时激光器的振荡频率th。光反馈导致激光振荡频率偏移的最大值可由相位条件式(2-24)得出

max12 (2-26) 2L取决于反馈强度，而与反馈时间无关。

2.2 光注入半导体激光器速率方程

实际上光反馈是光注入的一种特殊情况，即其外部注入到激光有源区的光来自于激光器本身。因此类似于光反馈半导体激光器的Lang-Kobayashi方程，光注入半导体激光器的速率方程为

其中：

Einj(t)exp[i(t)]exp(ith) (2-27) Linjth为注入光与激光器的频率失谐量；Einj(t)为注入光的复振幅，包含着注

入光的相位信息；注入强度(1R2)rP/R2，rP为注入光功率与激光器输出光功率的比值。

符号

物理量 电量 有源区体积 载流子寿命 光子寿命

单位 1.6×10-19C 1×10-16m3 2ns 1.6ps

谐振腔的单次环行时间 7ps

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αi αm

腔内损耗

等效端面强度反射率 限制因子 阈值载流子密度 透明载流子密度 增益饱和系数 线宽增强因子 微分增益 自发辐射因子 波长

25cm-1 0.25 0.25 8.4×1023m-3 3.4×1023m-3 3×10-23 m3 6

5×10-12m3s-1 1×10-4 1550nm

等效的端面损耗(κL=2) 47cm-1

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