2012年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B= _________ ． 2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 _________ 名学生．

3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=

（i为虚数单位），则a+b的值为 _________ ．

4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 _________ ．

5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=

的定义域为 _________ ．

6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 _________ ．

7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D

3

的体积为 _________ cm．

8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线_________ ．

9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=则

的值是 _________ ．

，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若

=

，

的离心率为

，则m的值为

10．（5分）（2012•江苏）设（fx）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，（fx）=

其中a，b∈R．若

=，则a+3b的值为 _________ ．

11．（5分）（2012•江苏）设a为锐角，若cos（a+

）=，则sin（2a+

2

2

）的值为 _________ ．

12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 _________ ．

13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 _________ ．

14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是 _________ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知（1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC=

16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE．

，求A的值．

．

2

17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣

（1+k）x（k＞0）表示的曲线上，其中k与

2

2

发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已

32

知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x+ax+bx的两个极值点． （1）求a和b的值；

（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点； （3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．

19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1

（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，

）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i）若AF1﹣BF2=

求直线AF1的斜率；

（ii）求证：PF1+PF2是定值．

20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=

，n∈N，

*

（1）设bn+1=1+

，n∈N*，，求证：数列是等差数列；

（2）设bn+1=

•

，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分） 21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]

如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE． 求证：∠E=∠C．

B．[选修4﹣2：矩阵与变换]

已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．

C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C经过点P（程．

D．[选修4﹣5：不等式选讲]

已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜

．

，

），圆心为直线ρsin（θ﹣

）=﹣

与极轴的交点，求圆C的极坐标方

22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1． （1）求概率P（ξ=0）；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

23．（10分）（2012•江苏）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数： ①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈（1）求f（4）；

（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

A，则2x∉

A．

*