高考数学二模试卷（理科）
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合N={x|x2-x-2≤1}，M={-2，0，1}，则M∩N=（ ）
A. [-1，2] B. [-2，1] C. {-2，0，1} D. {0，1} 2. 设z=
，则|z|=（ ）
A.
3. 4.
5.
6.
B. 2 C. 1+i D. 1-i 在数列{an}中，a3=5，an+1-an-2=0（n∈N+），若Sn=25，则n=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.4，则P（0＜ξ＜2）=（ ） A. 0.4 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.2 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
已知a，b∈R，则“”是“a＜b”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
7. 若函数f（x）=x2ln2x，则f（x）在点（
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
）处的切线方程为（ ）
A. y=0
8. 已知sin（
B. 2x-4y-1=0
）=2cos（
C. 2x+4y-1=0 D. 2x-8y-1=0
），则sin2θ=（ ）
A. B. C. D.
9. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增．若实数m满足f
（log3|m-1|）+ f（-1）＜0，则m的取值范围是（） B. C. D. B、C的对边分别是a、b、c，10. 在△ABC中，内角A、若ccosB+bcosC=，且b2+c2-a2=
则
=（ ）
A.
bc，
A. B. C. 2 D.
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11. 过双曲线x2-22+y2=4和圆C2：+y2=1的右支上一点P分别向圆C1：（x+2）（x-2）
作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
12. 安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同
的安排方式共有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量=（1，5），=（2，-1），=（m，3），若⊥（14. 若x，y满足
，则的最大值为______．
），则m=______．
15. 以抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于
D，E两点．已知|AB|=2，|DE|=2，则p等于______． 16. 在大小为75°的二面角α-l-β内有一点M到两个半平面的距离分别为1和，则点
M到棱l的距离等于______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和．
18. 某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，
D四座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如表： 城市 4S店个数x A 2 B 3 30 C 6 37 D 5 33 销量y（台数） 24 （1）根据统计的数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；
（2）现要从A，B，D三座城市的10个4S店中选取3个做深入调查，求B城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望． 附：回归方程=
中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
=
，=-
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19. 已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上
的任意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．
20. 椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（-a，0）和B（0，b）的直线
与原点间的距离为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点E（1，0）的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当=3时，求直线l的方程．
21. 设函数f（x）=ex-（a-1）x2-x．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）已知函数f（x）在（0，+∞）上有极值，求实数a的取值范围．
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22. 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为
（φ为参数），以
原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）过点P（1，2）倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值．
23. 已知函数f(x)=|x-a|+2x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x) |≤2恒成立,求实数a的取值范围.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合N={x|x2-x-2≤1}={x|M={-2，0，1}， ∴M∩N={0，1}． 故选：D．
先求出集合N，M，由此能求出M∩N．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A
≤x≤
}，
【解析】解：根据题意，z=
=
=（-10+10i）=-1+i，
则|Z|=， 故选：A．
根据题意，求出z=-1+i，由复数模的公式计算可得答案． 本题考查复数的计算，关键是掌握复数的计算公式． 3.【答案】C
【解析】解：数列{an}中，a3=5， 由于：an+1-an-2=0（n∈N+）， 故：an+1-an=2（常数）， 所以：数列{an}为等差数列， 故：an=5+2（n-3）=2n-1， 所以：
，
解得：n=5． 故选：C．
首先求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n项和公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 4.【答案】B
【解析】解：随机变量X服从正态分布N（1，σ2）， ∴曲线关于x=1对称， ∵P（0＜ξ＜1）=0.4， ∴P（1≤ξ＜2）=0.4，
∴P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜1）+P（1≤ξ＜2）=0.4+0.4=0.8， 故选：B．
由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应
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用，考查曲线的对称性，属于基础题． 5.【答案】D
【解析】解：根据程序框图： a=12，b=18， 由于：a≠b， 所以：b=b-a=6， 由于a=12，b=6， 所以：a=6， 由于a=b， 所以输出a=6． 故选：D．
直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果．
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 6.【答案】D
【解析】解：当a=-1，b=1时，满足a＜b，但＞不成立． 当a=1，b=-1时，满足＞，但a＜b不成立． “＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键． 7.【答案】B
【解析】解：函数f（x）=x2ln2x的导数为f′（x）=2xln2x+x2•=2xln2x+x， 可得f（x）在（
）处的切线的斜率为k=，
可得切线方程为y=（x-），
即为2x-4y-1=0． 故选：B．
求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的运算和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 8.【答案】C
【解析】解：由sin（得tan（∴
）=2，即，则tan
． ）=2cos（
，
），
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∴sin2θ=．
故选：C．
由已知求得tanθ，再由万能公式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切及万能公式的应用，是基础题． 9.【答案】A
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增． ∴f（x）在（-∞，0）上单调递增． ∵f（log3|m-1|）+f（-1）＜0，
∴f（log3|m-1|）＜-f（-1）=f（1）， ∴log3|m-1|＜1， ∴0＜|m-1|＜3，
解可得-2＜m＜4且m≠1 故选：A．
fx）0）flog3|m-1|）由奇函数的性质可得（在（-∞，上单调递增．从从而原不等式可转化为（
＜-f（-1）=f（1），可求
本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是函数性质的灵活应用．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，在△ABC中，ccosB+bcosC=则有c×b2+c2-a2=则
+b×bc，则cosA=
=a=
，
=，则sinA=，
，
==2；
故选：C．
根据题意，若ccosB+bcosC=b2+c2-a2=
bc变形可得cosA=
，由余弦定理可得c×
+b×
=a=
，进而对
=，计算可得sinA的值，据此计算可得答案．
本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 11.【答案】A
【解析】解：设P（x，y），由切线长定理可知|PM|2=|PC1|2-|C1M|2=（x+2）2+y2-4， |PN|2=|PC2|2-|C2N|2=（x-2）2+y2-1，
∴|PM|2-|PN|2=（x+2）2-（x-2）2-3=8x-3． ∵P在双曲线右支上，故x≥1，
∴当x=1时，|PM|2-|PN|2取得最小值5． 故选：A．
设P（x，y），根据勾股定理表示出|PM|2，|PN|2，再根据x的范围得出最小值． 本题考查了直线与圆的位置关系，双曲线的性质，属于中档题． 12.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组，
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若分成1、1、3的三组，有若分成1、2、2的三组，有
=10种分组方法， =15种分组方法，
则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33=6种情况，
6=150种不同的分组方法； 则有25×
故选：B．
根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论． 13.【答案】3
【解析】解：∵=（1，5），=（2，-1），=（m，3）， ∴
=（1+m，8），
），
∵⊥（
∵2（1+m）-8=0， ∴m=3，
故答案为：3． 先求出
的坐标，然后根据向量数量积性质的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用，属于基础试题． 14.【答案】5
【解析】解：满足约束条件如下图所示：
又∵的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率
当x=1，y=5时，有最大值5． 给答案为：5．
本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件
，的可行域，然后分析
的可行域：
的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．
平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 15.【答案】
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【解析】解：由对称性可知yA=±，代入抛物线方程可得xA==，
设圆的半径为R，则R2=+6，又R2=10+， ∴+6=10+，解得p=
．
故答案为：．
用p表示出A点坐标，利用垂径定理和勾股定理列方程求出p的值．
本题考查了抛物线的性质，圆的性质，属于中档题． 16.【答案】2
【解析】解：如图所示，
经过点M，作ME⊥β，MF⊥α，垂足分别为E，F． 则ME⊥l，MF⊥l．
设平面MEF与棱l交于点O，则l⊥平面MEOF． ∴l⊥MO．
设OM=x，∠EOM=θ1，∠MOF=θ2． 则θ1+θ2=，sinθ1=，sinθ2=． cosθ1=∴
，cosθ2=
．
+
×，
=sin=sin（θ1+θ2）=×
解得x=2． 故答案为：2．
如图所示，经过点M，作ME⊥β，MF⊥α，垂足分别为E，F．可得ME⊥l，MF⊥l．设平
l⊥MO．面MEF与棱l交于点O，可得l⊥平面MEOF．即MO为所求．设OM=x，∠EOM=θ1，∠MOF=θ2．可得θ1+θ2=，sinθ1=，sinθ2=．利用sin=sin（θ1+θ2），即可得出． 本题主要考查空间线面垂直、二面角的计算，考查了数形结合、推理与计算能力，属于
中档题．
17.【答案】解：（1）∵an+1=2an+1，（n∈N*）， ∴an+1+1=2（an+1）， ∴
=2，
∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q=2，首项为a1+1=2， ∴an+1=2•2n-1=2n， ∴an=2n-1，
∴数列{an}的前n项和sn=（2+22+…+2n）-n=
-n=2n+1-n-2．
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【解析】（1）把所给的递推公式两边加上1后，得到an+1+1=2（an+1），再变为=2，
由等比数列的定义得证；
（2）根据（1）的结论和条件，求出{an+1}的通项公式，再求出{an}的通项公式，利用分组求和方法和等比数列的前n项和公式进行求解．
本题考察了等比数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用，以及一般数列的求和方法：分组求和，对于数列的求和问题，一般先求出它的通项公式，再由通项公式的特点确定采用哪种方法．
18.【答案】解：（1）
=
，，
=2.9，
．
∴回归直线方程为；
（2）X的可能取值为：0，1，2，3． P（X=0）=P（X=2）=X的分布列为 X P 0 1 2 3 ；P（X=1）=；P（X=3）=
； ．
．
∴X的期望为E（X）=0×
【解析】（1）直接利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程；
（2）先求出X的可能取值为：0，1，2，3，再求出它们对应的概率和分布列，最后求出其期望．
本题主要考查回归直线方程的求法，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．
19.【答案】证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD． ∵AC∩AS=A，AC、AS⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC．
∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．
解：（2）设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴， 以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），
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则A（-1，0，0），C（1，0，0），S（-1，0，2），B（0，-，0），D（0，，0）．
设E（x，0，z），则=（x+1，0，z-2），=（1-x，0，-z），
设=，∴，∴E（，0，），
∴=（，-，）．
又=（0，，0），
设平面BDE的法向量=（x，y，z），
∵．解得=（2，0，1-λ）为平面BDE的一个法向量．
同理可得平面SAD的一个法向量为=（），
∵平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°， =∴cos30°
=
=，解得λ=1．
∴E为SC的中点．
【解析】（1）先证明BD⊥平面SAC，再证明平面EBD⊥平面SAC；
（2）设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴，以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出cos30°=
=，解方程
即得解．
本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
20.【答案】解（1）据题知，直线AB的方程为bx-ay+ab=0．
依题意得．
解得a2=2，b2=1，所以椭圆M的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），（x2＞0，y2＞0，）， 设直线l的方程为x=my+1（m∈R）．
代入椭圆方程整理得：（m2+2）y2+2my-1=0．△=8m2+8＞0
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∴y1+y2=-，y1y2=-．①
由=3，依题意可得：y1=-3y2，②
结合①②得，消去y2解得m=1，m=-1（不合题意）．
所以直线l的方程为y=x-1．
【解析】（1）由题得到关于a，b，c的方程组，解方程组即得解；
y1）Dy2）y2＞0）（2）设C（x1，，（x2，（x2＞0，，设直线l的方程为x=my+1（m∈R）．联
立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出m的值得解．
本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题． 21.【答案】解：（1）f'（x）=ex-2（a-1）x-1．当a=1时f'（x）=ex-1． 由f'（x）≥0有ex-1≥0，解得x≥0；f'（x）≤0，∴x≤0．
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（-∞，0]上单调递减． （2）设g（x）=f'（x）=ex-2（a-1）x-1，则g'（x）=ex-2（a-1），
∵函数f（x）在（0，+∞）上有极值点，∴函数g（x）在（0，+∞）上有零点． ①当
时，x＞0，∴ex＞1，∴g'（x）=ex-2（a-1）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵g（0）=0，∴当x＞0时g（x）＞g（0）=0恒成立， 即函数g（x）在（0，+∞）上没有零点． ②当
时，2（a-1）＞1，ln2（a-1）＞0，
g'（x）=ex-2（a-1）＞0时，x＞ln2（a-1），g'（x）=ex-2（a-1）＜0时，x＜ln2（a-1）， ∴g（x）在（0，ln2（a-1））上单调递减，在[ln2（a-1），+∞）上单调递增
∵g（0）=0，且g（x）在（0，ln2（a-1））上单调递减，∴g（ln2（a-1））＜0． 对于a＞0，当x→+∞时，g（x）→+∞，
∴存在x0∈[ln2（a-1），+∞）使g（x0）＞0． ∴函数g（x）在（ln2（a-1），+∞）上有零点．
∴函数f（x）在（0，+∞）上有极值点时，实数a的取值范围是（，+∞）．
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex-x利用导数求函数的单调性；
（2）先设g（x）=f'（x）=ex-2（a-1）x-1，再对a分类讨论，求出函数f（x）的单调性，作函数的图象，分析得到实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属中档题．
22.【答案】解（1）依题意，曲线C的普通方程为x2+（y-2）2=4， 即x2+y2-4y=0，故x2+y2=4y，故ρ=4sinθ， 故所求极坐标方程为ρ=4sinθ； （2）设直线l的参数方程为将此参数方程代入x2+y2-4y=0中，
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（t为参数），
化简可得t2-t-3=0，
．
显然△＞0．设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则
∴PM2+PN2=t12+t22=（t1+t2）2-2t1t2=8．
【解析】（1）先求出曲线C的普通方程为x2+（y-2）2=4，再化成极坐标方程； （2）先写出直线的参数方程
（t为参数），再将直线的参数方程代入圆的方
程，利用直线参数方程t的几何意义解答．
本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．
23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=
．
当x≥1时，由f（x）≥2可得3x-1≥2，解得x≥1；
当x＜1时，由f（x）≥2可得x+1≥2，解得x≥1；不成立； 综上所述，当a=1时，不等式f（x）≥2的解集为[1，+∞）． （2）记h（x）=|f（2x+a）-2f（x）| =2||x|-|x-a|+a| =
∴|f（2x+a）-2f（x）|max=4a． 依题意得4a≤2， ∴a≤．
所以实数a的取值范围为（0，]．
【解析】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． （1）利用分类讨论法解绝对值不等式； （2）先求出h（a）|=即得解．
，再求出|f（2x+a）-2f（x）|max=4a，依题意得4a≤2，．
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