【数学中考一轮复习】 全等三角形常考模型 (含答案)

专项训练 全等三角形常考模型

模型一 平移型

图示 有一组边共线，另两组边分别平行，常在移动方向方法点拨 上加（减）公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等。 1.如图所示，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF， AB＝DE， BC＝EF. （1）求证:△ABC≌△DEF；

（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数.

2.已知:如图所示，点B，E，C，F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF. （1）试说明:△ABC≌△DEF；

（2）判断线段AC与DF的关系，并说明理由.

3.已知:如图所示，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD. （1）求证:∠E＝∠F；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数.

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模型二 对称型

图示 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全方法点拨 重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等. 4.如图所示，已知AD＝BC，BD＝AC.求证:∠ADB＝∠BCA.

5.如图所示，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°.求∠BCA的度数.

6.已知:AB＝AC，AF＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D.求 证:AD＝AE.

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模型三 旋转型

类型一 不共顶点型旋转

图示 所给图形是一个中心对称图形，一个三角形方法点拨 绕对称中心旋转180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等.

7.如图所示，已知:在△AFD和△CEB，点A，E，F，C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有_______组.（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

8.如图所示，AB＝CD，AF＝CE，∠A＝∠C，那么BE＝DF吗？请说明理由.

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9.如图所示，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝ CF. 求证:（1）△ABF≌△DCE； （2）AF∥DE.

类型二 共顶点型旋转（含手拉手型）

图示1 （无重叠） 图示2 （有重叠） 此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角方法点拨 度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角.注:遇到共顶点、等线段，考虑用旋转. 10.如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE.

（1）求证:△ABD≌△ECD；

（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积.

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11.如图所示，∠ACB＝∠1＋∠B，AC＝BC，∠E＋∠ADE＝180°. （1）求证:△ACD≌∠CBE； （2）若BE＝5，DE＝6，求AD的长.

模型四 一线三垂直模型

图示 方法点拨 有三个直角，常利用同角（等角）的余角相等证明角相等 12.如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在BC边上，过点C作AD的 垂线与过B点垂直BC的直线交于点E.求证:CD＝BE.

13.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E. （1）求证:△BCE≌△CAD；

（2）若BE＝5，AD＝12，则ED的长是____________.

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14.如图所示，在四边形BCED中，∠D＝∠E＝90°，A是DE上一点，且AB⊥AC，AB＝AC，若BD＝4cm，C＝3cm.

（1）说明DE，BD、EC三者之间存在怎样的数量关系？ （2）求△ABC的面积.

模型五 半角模型

等边三角 形含半角 (∠BDC＝120°) 等腰直角 三角形 含半角 正方形 含半角 当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三方法点拨 角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等 15.如图所示，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°，求证:BE＋DF＝EF.

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16.在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N.

（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1所示），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是:___________________________________，并加以证明. （2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2所示），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论.

17.思维探索:

在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°. （1）如图1所示，当点E，F分别在线段BC，CD上时△CEF的周长是；

（2）如图2所示，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；

拓展提升:

如图3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度.

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参考答案

1.解:（1）证明:∵AC＝AD＋DC，DF＝DC＋CF，且AD＝CF，∴AC＝DF.

AB＝DE，在△ABC和△DEF中，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SSS）.

AC＝DF，（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB，

∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°（∠A＋∠B）＝180°（60＋80°）＝40°， ∴∠F＝∠ACB＝40°.

2.解:（1）∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF. ∵BE＝CF，∴BC＝EF.

AB＝DE，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF（SAS）.

BC＝EF，（2）AC＝DF，AC//DF. 理由如下: ∵△ABC≌△DEF，

∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE.∴AC// DF. 3.解: （1）证明:∵EA// FB，∴∠A＝∠FBD. ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC.即AC＝BD.

EA＝FB，在△EAC与△FBD中，∠A＝∠FBD，∴△EAC≌△FBD（SAS）.

AC＝BD，∴∠E＝∠F；

（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°. ∵∠A＝40°，∴∠E＝180°-40°-80°＝60°.

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AD＝BC，4，证明；在△ADB和△BCA中，BD＝AC，∴△ADB≌△BCA（SSS）.

AB＝BA，∴∠ADB＝∠BCA.

 AB＝AD，5.解:在△ABC与△ADC中，∠BAC＝∠DAC，∴△ABC≌△ADC（SAS），

 AC＝AC，∴∠D＝∠B＝80°.∴∠BCA＝180°-25°-80°＝75°.

AF＝AG，6.证明:在△AFC与△AGB中∠FAC＝∠GAB，∴△AFC≌△AGB（SAS），

AB＝AC，∴∠AFC＝∠AGB.∴∠AFD＝∠AGE，

∵AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D.∴∠ADF＝∠AEG＝90°.

∠ADF＝∠AEG，在△ADF与△AEG中∠AFD＝∠AGE，∴△ADF≌△AEG（AAS）.∴AD＝AE.

AF＝AG，7.C

8.解:BE＝DF.理由如下:

AB＝CD，在△ABF和△CDE中，∠A＝∠C，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，

AF＝CE，∴BF-EF＝DE-EF.∴BE＝DF.

9.证明:（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C. ∵BE＝CF，∴BE-EF＝CF-EF.即BF＝CE，

AB＝CD，在△ABF和△DCE中，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（SAS）；

BF＝CE，（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC. ∴∠AFE＝∠DEF∴AF∥DE.

10.解:（1）证明:∵点D是边BC的中点，∴BD＝CD.

BD＝CD，在△ABD与△CED中∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）；

AD＝DE，

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（2）在△ABC中，点D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC， ∵△ABD≌△ECD，∴S△ABD＝S△ECD.

∵S△ABD＝5，∴S△ACE＝S△ACD＋S△BCD＝5＋5＝10. 答:△ACE的面积为10.

11.解:（1）证明:∵∠ACB＝∠1＋∠B＝∠1＋∠ACD，∴∠B＝∠ACD， ∵∠E＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠E＝∠ADC.

∠ADC＝∠E，在△ACD和△CBE中，∠B＝∠ACD，∴△ACD≌△CBE（AAS）；

 AC＝BC，（2）∵△ACD≌△CBE，∴DE＝CD＝5，AD＝CE， ∵DE＝6，∴CE＝CD＋DE＝11，∴AD＝CE＝11.

12.证明:∵BC⊥BE，∴∠CBE＝90°.∴∠ECB＋∠E＝90°. ∵∠ECB＋∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠E.

∵AC＝BC，∠ACB＝∠CBE，∴△ACD≌△CBE（AAS）. ∴CD＝BE.

13.解:（1）证明:∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°. ∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.

∠E＝∠ADC，在△BCE和△CAD中，∠EBC＝∠ACD，∴△BCE≌△CAD（AAS）；

 BC＝AC，（2）∵△BCE≌△CAD，∴BE＝CD＝5，AD＝CE＝12. ∴DE＝CE-CD＝12-5＝7. 故答案为:7.

14.解:（1）结论:DE＝BD＋CE.

理由:∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°. ∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°. ∴∠EAC＝∠ABD∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）. ∴AD＝CE，BD＝AE.∴DE＝AD＋AE＝CE＋BD； （2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝BD＝4cm.

∵∠E＝∠BAC＝90°，∴AB＝AC＝AE2EC2＝5cm. ∴S△ABC＝

125×5×5＝（cm2）. 2210

15.证明:如图所示，延长CD到G，使DG＝ BE，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠B.

AB＝AD，在△ABE和△ADG中，∠ADG＝∠B，∴△ABE≌△ADG（SAS）

DG＝BE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE. ∵∠EAF＝45°，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝90°-45°＝45°.

AG＝AE，∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，∠EAF＝∠GAF，∴△AEF≌△AGF（SAS）.

 AF＝AF，∴EF＝GF.∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF. 16.解:（1）猜想:BM＋DN＝MN， 证明如下:

如图1所示，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，

ABAD，在△ABE和△ADN中，ABED，∴△ABE≌△ADN（SAS）

BEDN，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD.

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°. ∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠MAN.

 AE＝AN，在△AEM和△ANM中，∠EAM＝∠NAM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN.

 AM＝AM，又ME＝BE＋BM＝BM＋DN，∴BM＋DN＝MN； 故答案为:BM＋DN＝MN；

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（2）DN-BM＝MN. 证明如下:

如图2所示，在DC上截取DF＝BM，连接AF，

AB＝AD，△ABM和△ADF中，∠ABM＝∠D，∴△ABM≌△ADF（SAS），

BM＝DF，∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∴∠BAM＋∠BAF＝∠BAF＋∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，

AM＝AF，在△MAN和△FAN中∠MAN＝∠FAN，∴△MAN≌△FAN（SAS），

AN＝AN，∴MN＝NF，∴MN＝DNDF＝DN-BM，∴DN-BM＝MN. 17.解:思维探索:

（1）如图1所示，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF.

∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°. ∴∠BAG＋∠BAE＝45°＝∠EAF.

AG＝AF，在△AGE和△AFE中，∠GAE＝∠EAF，∴△AGE≌△AFE（SAS）.

AE＝AE，∴GE＝EF.∵GE＝GB＋BE＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.

∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝ CE＋BE＋DF＋CF＝BC＋CD＝8. 故答案为:8；

（2）如图2所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，

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同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE.∴EF＝DF-DG＝DF-BE. ∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝ CE＋CF＋DF-BE＝BC＋DF＋CF＝4＋4＋2＋2＝12； 拓展提升:

如图3所示，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，E.

∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°.∴四边形ACBG是矩形. ∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形.∴AC＝AG，∠CAG＝90°.

在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△FGA（SAS）.∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG. ∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠EAD＝45°.

∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS）.∴∠ADF＝∠EDA＝30°，∴∠BDE＝60°. ∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝23. 设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝23-x， ∴DG＝2＋23-x.∴DG-FG＝DF.即2＋23-x-x＝4， ∴x＝3-1.∴CE＝3-1.

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