2013高考数学秒杀必备：放缩法在数列不等式证明的运用论文 大纲人教版

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。

一、 放缩后转化为等比数列。

例1. {bn}满足：b11,bn1bn2(n2)bn3 （1） 用数学归纳法证明：bnn （2） Tn解：(1)略

(2) bn13bn(bnn)2(bn3) 又 bnn

bn132(bn3) ， nN* 迭乘得：bn32n1(b13)2n1 11111，求证：Tn ...23b13b23b33bn11n1,nN* bn321111111 ...234n1n12222222 Tn点评：把握“bn3”这一特征对“bn1bn2(n2)bn3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，

似乎是不可能的,为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加

例2．数列{an}，an(1)n1求证：s2n解：s2n11，其前n项和为sn n2 211111 ...2342n12n高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

令bn1，{bn}的前n项和为Tn

2n(2n1)1111()

2n(2n2)4n1n当n2时，bns2nTn 111111111111()()...() 212304344564n1n712 104n2点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。

值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数f(x)axbc(a0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为 xyx1

（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)lnx在[1,)上恒成立，求a的取值范围

（3）证明：1解：（1）（2）略

111n ...ln(n1)23n2(n1)（3）由（II）知：当a1时,有f(x)lnx(x1) 2111令a,有f(x)(x)lnx(x1).

22x11且当x1时,(x)lnx.

2xk111k1k111令x,有ln[][(1)(1)],

kk2kk12kk1111即ln(k1)lnk(),k1,2,3,,n.

2kk1将上述n个不等式依次相加得

ln(n1)整理得

11111(), 223n2(n1)高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

1111nln(n1). 23n2(n1)点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，

然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘 例4．a11,an11(14an124an)(nN*). 16（1） 求a2,a3

（2） 令bn124an，求数列{bn}的通项公式

（3） 已知f(n)6an13an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n) 解：（1）（2）略

1 221n1n1()() 342313231 f(n)nn2nn11n

42424111211(1n)(1n1)1nn2n11n1444444 1n11141n11n11n144411n4f(n)11n14

11111121n1n44...441 f(1)f(2)...f(n)11111122n144 由（2）得an 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米

诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！