力学第五次作业解答

4-5 某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝＋（SI）求：

(1)将弹簧从伸长x1＝ m拉伸到伸长x2＝ m时，外力所需做的功．

(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝ m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝ m时，物体的速率．

(3)此弹簧的弹力是保守力吗 解：(1) 外力做的功

WFdx(52.8x38.4x2)dxx1x2 ＝31 J

(2) 设弹力为F′

x1x112mvF'dxFdxWx2x22v2Wm = m/s

(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关．

4-6 如图所示，质量m为 kg的木块，在一个水平面上 和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原k 长压缩了x = m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数 km 为，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少

解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块

11和弹簧）机械能的增量．由题意有 frxkx2mv2

22而 frkmg

kx2由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 v2kgx

m = m/s

[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，

x1应有 kmgxkxdx0mv2

02x12kxdxkx 其中 02

4-10 如图所示，在与水平面成角的光滑斜面上放一质量

为m的物体，此物体系于一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止．今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为EK0，试求物体在弹簧的伸长达到x时的动能.

k m 

解：如图所示，设l为弹簧的原长，O处为弹性势

l能零点；x0为挂上物体后的伸长量，O＇为物体的Ox 0平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O处为重

O力势能的零点．由题意得物体在O＇处的机械能为：

12O\" E1EK0kx0mg(xx0)sin

x2在O 处，其机械能为：

11 E2mv2kx2

22由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即：

1211 EK0kx0mg(xx0)sinmv2kx2

222在平衡位置有： mgsin =kx0

∴ x0mgsink

112(mgsin)22代入上式整理得： mvEK0mgxsinkx

222k

 4-13 一物体与斜面间的摩擦系数 = ，斜面固定，倾角v 0 = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向

上滑，如图所示．求：

(1) 物体能够上升的最大高度h； (2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．

12解：(1)根据功能原理，有 fsmv0mgh

2Nhcos12 fsmghmghctgmv0mgh

sinsin22v0 h= m

2g(1ctg)1 (2)根据功能原理有 mghmv2fs

21 mv2mghmghctg

2 v2gh(1ctg)2= m/s

1h

4-15 在光滑的水平桌面上，有一如图所示的固定半圆形

屏障．质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入屏障内，

v0m俯视图滑块与屏障间的摩擦系数为．试证明当滑块从屏障另一端

滑出时，摩擦力所作的功为

2 W1mv0(e21)

2 f 证：滑块受力如图所示．滑块作圆周运动 r Nmv2/R ① v N frNmdv/dt ② O 2v由①、②可得 dvdvdvdv RdtddtRd∴ dv/dv

v分离变量进行积分

(1/v)dvd

00π可得 vv0e

由动能定理，摩擦力所作的功为

22 W1mv21mv01mv0(e2π1)

222

4-16 质量为M的实验小车上有一根竖立细杆，用一根长为R的细绳将质量为m′的一个小球挂在杆上P点．该小车和球以共同的

P初速度v向右运动，和质量为m的另一辆静止小车发生

m′完全非弹性碰撞，如图所示．设忽略一切摩擦且设M，

Mmm >> m′，则小球的运动对两辆小车的速度的影响也可v忽略不计．试证明：欲使小球在竖直面内绕P点作圆周

Mm运动．实验小车和球的初速度大小至少为 v5gR

m证：两车相碰后的速度由动量守恒定律有

M vv ①

Mm 若小车静止不动，小球作圆周运动所需的最小速度为v1，则小球转至最高

2mv2点时mg，则速度v2Rg，由机械能守恒定律有

R 1mv12mg(2R)1m(Rg) ②

22即 v15Rg

在速度为v′的运动的车上，若要小球相对车的最小速度等于v1，则球对地

Mv5gR 的速度应为 v1vvvMm故有 vMm5gR m