田阳县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1． 集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（ ）

A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜1}

2． 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

A．π

B．3π+4 C．π+4 D．2π+4

）

|x﹣2|

3． 已知α，β为锐角△ABC的两个内角，x∈R，f（x）=（式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（ ） A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，2）

+（）

|x﹣2|

，则关于x的不等

C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） D．（﹣，2）

4． 设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于（ ）

A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（1，3）

5． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 6． 设f(x)是奇函数，且在(0,)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是（ ） A．x|3x0或x3 B． x|3x0或0x3

 C．x|x3或x3 D． x|x3或0x3 7． 已知双曲线

﹣

=1的一个焦点与抛物线y2=4

x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则

该双曲线的方程为（ ） A．

8． 已知{an}是等比数列，a22，a5A．﹣

=1

B．

22﹣y=1 C．x﹣

=1 D．﹣=1

1，则公比q（ ） 411 B．-2 C．2 D． 229． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ）

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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知双曲线

（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=

与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为

钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

11．设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“A．充分条件但不是必要条件

”的（ ）

B．必要条件但不是充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件

12．阅读如右图所示的程序框图，若输入a0.45，则输出的k值是（ ） （A） 3 （ B ） 4 （C） 5 （D） 6

二、填空题

13．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）

14．已知函数f（x）=x2+

x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．

15．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

16．设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 17．i是虚数单位，化简：18．在数列

= ．

中，则实数a= ，b= ．

三、解答题

19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数

fxx3a4x24abxca,b,cR有一个零点为4，且满足f01.

（1）求实数b和c的值；

（2）试问：是否存在这样的定值x0，使得当a变化时，曲线yfx在点x0,fx0处的切线互相平行？

第 2 页，共 16 页

若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由；

20．已知函数f（x）=x3+x．

（3）讨论函数gxfxa在0,4上的零点个数.

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．

3322

（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））

21．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

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22．求同时满足下列两个条件的所有复数z： ①z+

是实数，且1＜z+

≤6；

②z的实部和虚部都是整数． 23．

（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；

（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．

24．已知等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设

25．（本题满分12分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，E是棱CD上的一点，P是棱AA1 上的一点.

（1）求证：AD1平面A1B1D； （2）求证：B1EAD1；

（3）若E是棱CD的中点，P是棱AA1的中点，求证：DP//平面B1AE.

的公差

，

，，求

． 的最大值．

的通项公式； ，记数列前n项的乘积为

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26．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ABC60，侧面PDC为等边三角形，

o且与底面ABCD垂直，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PADM；

（Ⅱ）求直线PC与平面DCM所成角的正弦值．

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田阳县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}． 故选D．

【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．

2． 【答案】B

【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开） 由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，

2

故其表面积为S=2×π×1+2×2+×2π×1×2=3π+4

故选：B

【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．

3． 【答案】B

【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，∴f（x）=（

）

|x﹣2|

+（）

|x﹣2|

，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，

由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），

2

∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；

故选：B．

4． 【答案】C

2

【解析】解：∵集合M={x|x﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}， N={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}， ∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1）． 故选：C．

【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题，解题时要注意一元二次不等式和对数函数等知识点的合理运用．

5． 【答案】A 【解析】

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考

点：斜二测画法． 6． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为fx为奇函数且f30，所以f30，又因为fx在区间0,上为增函数且可知：当x3,0时，fx0，当x,3时，fx0，所以满足xfx0的x的取值范围是：x3,0或x0,3。故选B。 7． 【答案】B

2

【解析】解：已知抛物线y=4

f30，所以当x0,3时，fx0，当x3,时，fx0，再根据奇函数图象关于原点对称

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

x的焦点和双曲线的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为（即c=

，

，0），

又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，

222

则有a+b=c=10和=，

解得a=3，b=1． 所以双曲线的方程为：故选B．

【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．

8． 【答案】D 【解析】

试题分析：∵在等比数列{an}中，a22,a5考点：等比数列的性质. 9． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

，∴θ为第二象限角，

2

﹣y=1．

a1113,q5,q.

a2824第 7 页，共 16 页

10．【答案】D

x

【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）e， xxx

∴f′（x）=e+（x﹣3）e=（x﹣2）e，

令f′（x）＞0，

x

即（x﹣2）e＞0，

∴x﹣2＞0， 解得x＞2， 故选：D．

∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．

【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．

11．【答案】A

【解析】解：因为abc=1，所以=

≤a+b+c．

显然成立，但是abc=6≠1，

”的充分条件但不是必要条件．

，则

=

当a=3，b=2，c=1时，

所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“故选A．

12．【答案】 D.

【解析】该程序框图计算的是数列前n项和，其中数列通项为an12n12n1

Sn11133512n12n111122n19Sn0.45nn最小值为5时满足

2Sn0.45，由程序框图可得k值是6． 故选D． 二、填空题

13．【答案】 3.3

【解析】

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解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子． 设BC=x，则根据题意 =

，

AB=x，

在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，

=

=

，求得

则，即

x=3.3（米）

故树的高度为3.3米， 故答案为：3.3．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

14．【答案】 9+4 ．

2

【解析】解：∵函数f（x）=x+

x﹣b+只有一个零点，

∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1， ∵a，b为正实数，

∴+=（+）（a+4b）=9+≥9+2当且仅当

==9+4

b时取等号，

+

，即a=

∴+的最小值为：9+4故答案为：9+4

【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．

15．【答案】 ②④

【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=

（k+1）﹣

2

k2，

2

（k+1），

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

=

k2=2

k+

，

，

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任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误； 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

22424

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）+9k=2k，即10k﹣2k+1=2k（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

16．【答案】

．

22

【解析】解：∵x﹣4ax+3a＜0（a＜0）， ∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0， 则3a＜x＜a，（a＜0）， 由x﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，

2

∵￢p是￢q的必要非充分条件， ∴q是p的必要非充分条件， 即故答案为：

，即

≤a＜0，

17．【答案】 ﹣1+2i ．

【解析】解：故答案为：﹣1+2i．

18．【答案】a=

，b=

．

【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知， a﹣b=26， a+b=15， 解得，a=故答案为：

，b=，

； ．

由3，8，a+b，24，35知，

=

【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．

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三、解答题

1,c1；（2）答案见解析；（3）当a1或a0时，gx在0,4有两个零点；4当1a0时，gx在0,4有一个零点.

19．【答案】（1）b【解析】试题分析：

（1）由题意得到关于实数b,c的方程组，求解方程组可得b1,c1； 4 （3）函数

gx的导函数gx3x22a4x4a，结合导函数的性质可得当a1或a0时，gx在

410,4有两个零点；当1a0时，gx在0,4有一个零点.

试题解析：

1 ，解得{（1）由题意{4 ；

f44bc0c1f0c1b（2）由（1）可知fxxa4x4a321x1， 4∴fx3x2a4x4a21； 42假设存在x0满足题意，则fx03x02a4x04a即2x04a3x028x01是一个与a无关的定值， 41是一个与a无关的定值， 417； 4则2x040，即x02，平行直线的斜率为kf2（3）gxfxaxa4x4a321x1a， 41， 4122其中4a4124a4a216a674a2510，

4∴gx3x2a4x4a2设gx0两根为x1和x2x1x2，考察gx在R上的单调性，如下表

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1°当a0时，g01a0，g4a0，而g23a150， 2∴gx在0,2和2,4上各有一个零点，即gx在0,4有两个零点； 2°当a0时，g010，g4a0，而g2150， 2∴gx仅在0,2上有一个零点，即gx在0,4有一个零点；

31a0， 4211①当a1时，g01a0，则gx在0,和,4上各有一个零点，

223°当a0时，g4a0，且g即gx在0,4有两个零点；

②当1a0时，g01a0，则gx仅在即gx在0,4有一个零点；

1,4上有一个零点， 2综上：当a1或a0时，gx在0,4有两个零点； 当1a0时，gx在0,4有一个零点.

点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f（x）在[a，b]内所有使f′（x）＝0的点，再计算函数y＝f（x）在区间内所有使f′（x）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴m+1＜3﹣2m， ∴

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：

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10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=图和列举法的合理运用．

22．【答案】 【解析】解：设z+解方程得 z=

±

=t，则 z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0，

i．

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方

又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6， 故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．

23．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.

又B，C，F，E四点共圆， ∴∠ABC＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形， 又EB＝EF＝2， ∴AF＝FC＝2，

设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y， 在△AED中，由余弦定理得

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DE2＝AE2＋AD2－2AD·AEcos A.

1即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×，

2∴x2－y2＝4－2y，①

由切割线定理得DE2＝DF·DC， 即x2＝y（y＋2）， ∴x2－y2＝2y，②

由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝3. 24．【答案】

【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得解得所以

（Ⅱ）由（Ⅰ），得所以所以只需求出由（Ⅰ），得因为所以当所以

，或的最大值为

时，

，

取到最大值．

．

或

（舍）． ． ．

． 的最大值．

．

25．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.

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26．【答案】

o【解析】由底面ABCD为菱形且ABC60，∴ABC，ADC是等边三角形， 取DC中点O，有OADC,OPDC，

∴POA为二面角PCDA的平面角， ∴POA90．

o

分别以OA,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图， 则A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0),B(3,2,0),C(0,1,0)． …… 3分

3333,1,),∴DM(,2,),2222 3),0),PADM0, PADCPADC(3,0,P∴ PADM …… 6分

（Ⅰ）由M为PB中点，M(zMyBD页 第 15 页，共 16 OACx（Ⅱ）由DC(0,2,0)，PADC0，∴PADC， ∴ 平面DCM的法向量可取PA(3,0,3), …… 9分 PC(0,1,3)， 设直线PC与平面DCM所成角为， 则sin|cosPC,PA||PCPA36． |4|PC||PA|626 ．…… 12分 4即直线PC与平面DCM所成角的正弦值为

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