基础算法4——高精度乘除法

1、高精度乘低精度

这个乘法的思路和我们习惯的笔算乘法是反过来的：是用高精度的一位乘以低精度，然后确认本位和进位：

A = 123， b = 12;    // 实际中A可能会远大于b
A * b = 
       1   2   3
×          1   2
------------------
  c4  c2   c1  c0
  
c0 = (3 × 12 + 0 ) % 10 = 6;   t1 = (3×12)/10 = 3;
c1 = (2 × 12 + t1) % 10 = 7;   t2 = 2;
c2 = (1 × 12 + t2) % 10 = 4;   t3 = 1;
c4 = 1;

对于上面这个乘法，我们是这么算的：3*12 + 20*12 + 100*12。和我们习惯的笔算乘法是反过来的，但当然是对的。因为在存c4~c0的时候，存的位置的先后顺序本身就暗含了10^k的权重，所以我们要关心的就是3*12, 2*12, 1*12和每次的进位。也就是上面的过程。

把上面的过程翻译成代码如下：

// C = A * B, A >= 0, B >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++){
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 删除前缀0
    return C;
}

2、高精度除以低精度

思路就是我们笔算的除法步骤：

A = 12345;
b = 33;
   
c = 0 0 3 7 4
--------------
33 |1 2 3 4 5
 -    9 9
--------------
      2 4 4
 -    2 3 1
 -------------
        1 3 5
 -      1 3 2
 --------------
        r = 3

将上面的过程翻译成代码：

// A / b = 商C ... 余数r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i --){ 
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);  // int 除法的结果会抹掉小数位
        r %= b;   // 留在本位的参与下一次减法
    }
    reverse(C.begin(), C.end());  // 低位存在前
    
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

考虑通常加减乘除都会出现，所以这里的A还是把低位存在前面。由于除法要从高位开始做，所以看到循环是从A.size( ) - 1开始的。调用格式为：

vector<int> A = {5,5,5,5,5,5};
int b = 56;
int r = 0;

auto C = div(A, b, r); 
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i --) printf("%d",C[i]);
cout << endl << r << endl;